Пределы применения уравнения Бернулли

Для выяснения областей применимости уравнения Бернулли установим, при каких же условиях правая часть уравнения

æ 2 ö

dx dy dz

dç- П - p- n

¸ = 2 ω ω ω ,

ç

è

представленная в виде определителя

¸

ρ ø

dx dy

x y z

n x n y n z

dz

ωx ω y

n x n y

ωz = 0

n z

обращается в нуль (П – потенциальная энергия поля П(x, y, z)).

Из теории определителей известно, что определитель обращается в нуль, если какая- нибудь из его строчек или столбцов полностью представлена нулями и, во-вторых, если ка- кие-либо две строчки пропорциональны друг другу.

Значит уравнение Бернулли, выражающее закон постоянства энергии частиц невязкой жидкости, действительно лишь при наличии одного из следующих условий:

а) wx = 0, wу = 0 и wz = 0;

б) dx =dy =dz ;

n x n y n z

в) dx = dy = dz ;

ωx ωy

г) ωx = ωy

n x n y

ωz

= ωz.

n z

Рассмотрим каждое из этих условий в отдельности: а) wx = 0, wу = 0 и wz = 0.

Это — условие безвихревого (потенциального) движения жидкости, следовательно,

уравнение Бернулли

П + p+ n

= const

ρ 2

применимо ко всему потенциальному потоку в целом.

Постоянная в этом уравнении сохраняет свое значение для всех точек пространства, занятого движущейся жидкостью. Таким образом, суммарный запас энергии, приходящейся на единицу массы движущейся невязкой жидкости, одинаков по всему потоку.

dx =dy =dz .

n x n y n z

Из кинематики известно, что это условие представляет собой уравнение линии тока.

Таким образом, уравнение Бернулли действительно и при вихревом движении, но только для каждой отдельной линии тока.

При этом удельный запас энергии

П + p+ n

ρ 2

будет постоянным уже только для каждой линии тока в отдельности, но для различных линий токов будет, вообще говоря, различным.

в) К аналогичным выводам, но только применительно к вихревой линии можно прий- ти, рассматривая третье условие

dx = dy = dz .

ωx ωy ωz

Значит, в вихревом потоке постоянная уравнения Бернулли будет сохранять свое зна- чение для каждой вихревой линии в отдельности, но, вообще говоря, будет различной для различных вихревых линий.

г) Но есть, оказывается, один вид вихревого движения, когда уравнение Бернулли

П + p+ n

= const

ρ 2

сохраняет свою постоянную для всех точек пространства, занятого потоком.

Такой поток характеризуется четвертым условием

ω ω

x = y

n x n y

= ωz =а. (5.41)

n z

Выясним, какое движение жидкости характеризуется последним выражением. Для этого поставим в уравнение вихревой линии

dx = dy =dz

ωx ωy ωz

значения компонентов вихря согласно (5.41), а именно:

wх = а их; wу = а иу; wz= а иz.

Тогда уравнение линии вихря примет вид

dx =dy =dz ,

n x n y n z

полностью совпадающей с уравнением линии тока.

Следовательно, условие (5.41) характеризует такое движение жидкости, при котором частицы ее движутся по линии тока и вместе с тем вращаются вокруг последней. Такое дви- жение называется винтовым.

Теперь выясним, каков будет запас энергии частиц жидкости в разных точках про-

странства винтового потока. В винтовом потоке величина

H = П +

p n 2

+

ρ 2

не зависит от ко-

ординат пространства, т.е. в винтовом потоке так же, как и в потенциальном, запас энергии частиц жидкости одинаков во всем потоке.

Ограничения использования уравнения Бернулли следуют из допущений, которые бы- ли сделаны при его выводе. Уравнение Бернулли справедливо:

1. для установившегося движения жидкости;

2. для сплошного потока жидкости, т.е. потока, не содержащего парогазовых пузырей;

3. для постоянного расхода жидкости между выбранными сечениями потока;

4. для параллельноструйного или плавно изменяющегося движения жидкости между выбранными сечениями потока.