Переход к преобразованию Лапласа

Требование сходимости интеграла накладывает на класс преобразуемых по Фурье функций определенное ограничение. Такие употребительные в технике функции, как функция единичного скачка, линейная функция или периодическое колебание, в строгом смысле не являются преобразуемыми по Фурье. Если несколько ослабить требование сходимости путем введения экспоненциального множителя, обеспечивающего сходимость, то класс преобразуемых функций существенно расширится. В этом плане покажем, что преобразование Лапласа является специальным случаем преобразования Фурье.

*) Вообще переменная s используется в качестве комплексной переменной s+jw. Однако в прямом преобразовании Фурье переменная s понимается только как мнимая часть, т. е. s=jw.

Предположим, что шкала времени выбрана так, что функция f(t) представляет интерес только при t>0; кроме того, введем множитель е^-st. Тогда условие сходимости, которому должна удовлетворять функция f(t), будет следующим:

сходится. (1.2-1)

Нижняя граница множества чисел s, обеспечивающих сходимость интеграла, называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается через s_a. Теорема о преобразовании Фурье дает:

. (1.2-2)

Умножая обе части этого соотношения на и заменяя переменную интегрирования s=jw на s+jw, получим

. (1.2-3)

Чтобы обеспечить теперь выполнение условия сходимости при интегрировании по переменной , ее действительная часть должна быть больше чем s_a. Обозначим это значение s>s_a через с. Мы можем, далее, рассматривать как комплексную переменную и заменить ее на s. Отсюда непосредственно следует

(1.2-4)

(1.2-5)

где s= и с>s_a.

Эти два уравнения составляют прямое и обратное преобразования Лапласа.