И их характеристики

В общем случае физически реализуемые цифровые фильтры, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала у(kΔ)=у_k в k-ый дискретный момент времени могут использовать следующие данные :

-значение входного сигнала х(k Δ)=x_k в момент которого отсчета, а также некоторое число "прошлых" входных отсчетов х(кΔ-Δ)=x_k-1 ,

х(кΔ-2Δ)=х_к-2,…, x(кΔ-mΔ)=x_k-m;

-некоторое число предшествующих отсчетов входного сигнала

у(kΔ-Δ)=y_k-1,…, y(kΔ-nΔ)=y_{k -n}.

В зависимости от используемой информации о прошлых состояниях, цифровые фильтры классифицируют на трансверсальные (не рекурсивные) и рекурсивные [11, 12].

Трансверсальными (не рекурсивными) цифровыми фильтрами принято называть цифровые системы, в которых при формировании выходного сигнала в i-й момент отсчета не используются его значения в предшествующие моменты отсчета. Такие фильтры работают в соответствии с алгоритмом, описываемым разностным уравнением вида:

y(iΔ)=a₁x(iΔ)+a₂x(iΔ-Δ)+...+a_mx(iΔ-mΔ). (5.12)

где коэффициенты a₁, a₂,..., a_m являются соответствующими значениями h₀, h₁,..., h_m импульсной дискретной характеристики фильтра; m – порядок трансверсального цифрового фильтра.

Системная характеристика и частотный коэффициент передачи цифрового фильтра имеют соответственно вид:

H(z)=a₀+a₁z^-1+... + a_m z^-m

k(jωΔ)=a₀+a₁е^-jωΔ+... + a_m е^-jωmΔ (5.13)

Трансверсальные фильтры называют иногда фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). При аппаратной реализации трансверсальных фильтров основными элементами служат устройства задержки (сдвиговые регистры) отcчетных значений на интервал дискретизации, масштабные звенья, выполняющие в цифровой форме операции умножения отчетных значений входного сигнала на соответствующие коэффициенты импульсной дискретной характеристики, сумматор, где складываются сигналы с выхода масштабных звеньев, образуя отчет выходного сигнала, и ячейки памяти, где хранятся прошлые отсчеты входного сигнала и элементы импульсной дискретной характеристики.

Рекурсивный цифровой фильтр характерен тем, что для формирования i-го отсчета у(iΔ) используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов. Разностное уравнение, определяющее алгоритм функционирования рекурсивного фильтра, имеет вид:

y(iΔ)=a₀x(iΔ)+a₁x(iΔ-Δ)+...+a_mx(iΔ-mΔ)+b₁y(iΔ-Δ)+...+b_ny(iΔ-nΔ). (5.14)

Системная функция и частотный коэффициент передачи рекурсивного цифрового фильтра соответственно принимают вид

H(z)= ; (5.15)

К(jωΔ)=

Рекурсивный фильтр в своих элементах памяти хранит информацию о предшествующих состояниях. Поэтому, если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений y(iΔ–Δ),ִִִ, y(iΔ–nΔ), то фильтр будет циклически образовывать на выходе элементы бесконечной последовательности у(iΔ+Δ), у(iΔ+2Δ),..., играющая роль свободных собственных колебаний. Поэтому такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Цифровой фильтр как любая динамическая система может быть устойчивым или неустойчивым.

Линейный цифровой фильтр с постоянными параметрами называется устойчивым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию

. (5.16)

Для трансверсального (не рекурсивного) фильтра импульсная дискретная характеристика имеет конечную протяженность и поэтому этот тип фильтра всегда устойчив.

Рекурсивный цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающие в нем свободные колебания сигнала на выходе есть не возрастающая последовательность независимо от выбора начальных условий, т.е. y(nΔ) при n , где М – некоторое наперед заданное число.

Условие ограниченности отсчетных значений выходного сигнала рекурсивного фильтра во временной области определяет следующее условие устойчивости в z-области: если задана системная функция рекурсивного фильтра:

(5.17)

то числитель и знаменатель ее являются полиномной комплексной переменной z и поэтому могут быть разложены на простые сомножители. Тогда системная функция фильтра будет иметь вид

H(z)=A , (5.18)

где и - действительные или комплексные сопряженные корни. Величины называют нулями, а - полюсами системной функции.

Рекурсивный цифровой фильтр называют устойчивым, когда модули полюсов (корней характеристического уравнения) его системной функциименьше 1, или, что эквивалентно, когда полюсы расположены вне окружности .