Математическое описание устройств обработки дискретных сигналов,

Цифровые фильтры

Математическая теория устройств обработки дискретных сигналов – цифровых фильтров [12] переносит на случай дискретных сигналов все основные положения, известные из теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал х(t) таким образом, что на ее выходе возникает выходной сигнал у(t), равный свертке сигнала х(t) и импульсной характеристики h(t) (реакция системы на входное воздействие х(t)=δ(t-τ) вида дельта функции)

у(t)= х(τ)h(t-τ)dτ = h(τ)x(t-τ)dτ (5.1)

Цифровой фильтр есть дискретная система, которая преобразует последовательность числовых отсчетов (отсчетных значений) входного дискретного сигнала {х_к}=[х₀, х₁,…, х_к,…] в последовательности числовых отсчетов (отсчетных значений) выходного дискретного сигнала {у_к}=[у₀, у₁,…, у_к,…].

Мы будем рассматривать линейные стационарные цифровые фильтры, которые характерны тем, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму откликов их составляющих, т.е.

а₁{x_к¹}+а₂{х_к²}+…+а_N{х_к^N} а₁{у_к¹}+а₂{у_к²}+…+а_N{у_к^N}

Для того чтобы обобщить формулу (5.1) на дискретный случай вводят понятие импульсной дискретной характеристики цифрового фильтра. По определению такая характеристика представляет собой дискретный сигнал {h_к}=[h₀, h₁,…, h_k]_, который является реакцией цифрового фильтра на “единичный импульс”

{х_к}=[1, 0, 0, 0,…].

Линейный цифровой фильтр, будет являться стационарным, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная дискретная характеристика (ИДХ) смещается таким же образом, не изменяясь по форме, например:

(0, 1, 0, 0,..) (0, h₀, h₁,…)

(0, 0, 1, 0,..) (0, 0, h₀, h₁,…)

Из свойств линейности и стационарности вытекает общий алгоритм функционирования цифрового фильтра.

Пусть {х_к}=(х₀, х₁,…, х_к) – некоторый сигнал на входе цифрового фильтра. Фильтр обладает известной импульсной дискретной характеристикой {h_m}=(h₀, h₁,…, h_m). Тогда используя понятие свертки импульсной дискретной характеристики и входного дискретного сигнала для значения выходного сигнала {У_к} в момент m-го отсчета можно записать

y(mΔ)=y_m=х(0Δ)h(mΔ)+х(Δ)h(mΔ-Δ)+х(2Δ)h(mΔ-2Δ)+…х(mΔ)h(0Δ)=

= х(кΔ)h(mΔ-кΔ)=х₀h_m+х₁h_m-1+…+х_mh₀= х_кh_m-к (5.2)

Эта формула называется алгоритмом функционирования цифрового фильтра. Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета цифровой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих отсчетных значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной дискретной характеристики. Иными словами цифровой фильтр обладает некоторой "памятью" по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют физически реализуемые фильтры, импульсная дискретная характеристика которых не может стать отличной от нуля в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного дискретного сигнала. Поэтому для физически реализуемых цифровых устройств коэффициенты

h_-1=h(-Δ), h_-2=h(-2Δ), обращаются в нуль. Тогда операцию суммирования в выражении (5.2) можно распространить на все положительные значения индекса к, т.е.

У(mΔ)=У_m= х(kΔ)h(mΔ-kΔ)= х_кh_m-к, к= 0, 1,… (5.3)