Спектральное описание случайных непрерывных сигналов

В реальных измерительных приборах и системах восприятие и преобразование сигналов сопровождаются наложением на них случайных воздействий и помех, связанных с колебаниями питания, температуры, влажности и т. п. В этом случае возможные реализации измерительного сигнала образуют случайный процесс, для описания которого используются вероятностные характеристики (m_x, D_x, K_x(τ)).

Рассмотрим стационарный случайный измерительный сигнал x(t) с нулевым математическим ожиданием m_x=0. Отдельная реализация сигнала x(t) есть детерминированная функция времени и для нее можно получить спектральное разложение, используя прямое и обратное преобразование Фурье

(3.27)

где S_x(ω) – детерминированная спектральная плотность этой реализации.

Для того, чтобы описать весь ансамбль реализаций случайного сигнала x(t) вводится новая функция , которая получила название "спектральная плотность мощности", которая однозначно связана с автокорреляционной функцией K_x(τ) случайного сигнала x(t) через прямое и обратное преобразование Фурье

(3.28)

Спектральная плотность мощности представляет собой произведение

S_x(ω) S_x(ω₁)= 2π S_x(ω) δ(ω- ω₁),

где δ(w – w₁) – d – функция (δ – функция Дирака) определяемая выражением

В отличие от спектральной плотности S_x(ω) физический смысл можно выяснить, положив в выражении (3.28) значение интервала τ=0. K_x(0)=σ_x² – дисперсия случайного сигнала x(t).

(3.29)

т.е. дисперсия σ_x² равна сумме вкладов спектральной плотности мощности всех точек частотной оси, следовательно характеризуют удельную меру мощности флуктуации случайного сигнала x(t).

По своему физическому смыслу S_x(ω)≥0, а раз всегда вещественна, то она не несет информацию о фазе отдельно взятых реализаций случайного сигнала x(t).

Для единичного импульса x(t)=δ(t-τ) автокорреляционная функция K_x(τ)= δ(0), а спектральная плотность мощности =1.

Чем короче во времени импульсный сигнал x(t), тем шире его спектр. В предельном случае для единичного импульса δ(t-τ) ширина спектра бесконечно велика. Сигнал, имеющий такой спектр, называется белым шумом.

Таким образом, переход от периодических к непериодическим и далее к случайным сигналам характеризуется изменением спектра сигнала от дискретного (решетчатого) к сплошному (размытому), определяющему изменение амплитуды по частоте (детерминированный непериодический сигнал) или изменение дисперсии (мощности, энергии) случайного сигнала при изменении частоты.

Если рассматривать процессы во временной области, то переход от детерминированных периодических процессов к случайным соответствует изменению автокорреляционной функции от периодической до узкого импульса в пределах единичного импульса (δ – функции Дирака).