Свойства нормальных делителей

Свойство 1. Подгруппа Н является нормальным делителем группы G тогда и только тогда, когда для любого xÎG и любого hÎН, xhx^-1ÎН.

Доказательство. Достаточность. Пусть для всех xÎG и всех hÎН, xhx^-1ÎН, где H - подгруппа группы G. Чтобы показать, что H - нормальный делитель, осталось доказать равенство xH=Нx. Пусть yÎxН, следовательно, y=xh. Умножим обе части последнего равенства на x^-1 справа: yx^-1=xhx^-1=h₁ÎН (xhx^-1ÎН, по условию). Тогда yx^-1=h₁, умножив обе части этого равенства на х, получим yx^-1x=h₁x, y=h₁x, то есть yÎНx. Докажите самостоятельно, что если yÎНx, то yÎхН. Таким образом, Н - нормальный делитель группы G.

Необходимость. Пусть Н - нормальный делитель группы G. Покажем, что xhx^-1Î Н, для любого xÎG и для любого hÎH. Так как Н - нормальный делитель, то для любого xÎG: xH=Нx. Следовательно, xh=h₁x (умножим обе части равенства на х^-1): хhx^-1=(h₁x)x^-1=h₁(xx^-1)=h₁. Получили, что h₁₌хhx^-1, но h_1ÎН, следовательно, хhx^-1 ÎН.

Свойство 2. Пусть N - нормальный делитель группы G и (а₁,b₁)Îs_N, (а₂,b₂)Îs_N , где а₁,b₁,а₂,b₂ÎG, тогда (а₁а₂,b₁b₂)Îs_N.

Доказательство. Так как (а₁,b₁)Îs_N то ÎN. Аналогично из того, что (а₂,b₂)Îs_N, следует, что ÎN. Покажем, что (a₁a₂)(b₁b₂)^-1ÎN. Действительно,

(a₁a₂)(b₁b₂)^-1=a₁a₂ =a₁a₂ =a₁a₂ = ÎN, так как ÎN и ÎN (по условию), ÎN (по предыдущей теореме). Получили (a₁a₂)(b₁b₂)^-1ÎN, следовательно, (а₁а₂,b₁b₂)Îs_N.

Определение. Пусть G - группа, N - нормальный делитель группы G. Фактор-группой группы G по нормальному делителю N называется множество всевозможных классов по эквивалентности s_N : G/N={ ½aÎG}.

3амечание. Для любых x,yÎG (x,y)Îs_N тогда и только тогда, когда

xy^-1ÎN.

Действие в фактор-группе введено так: , (то есть взяв элементы а и b соответственно из классов и , перемножаем их, и класс, в котором окажется элемент ab, будет результатом умножения класса на класс ). Элементами фактор-группы являются не отдельные элементы, а множества элементов - классы по эквивалентности s.

Теорема. Фактор-группа является группой относительно введенного в ней алгебраического действия.

Доказательство. Пусть G - группа, N -- ее нормальный делитель.

1. Докажем, что введенное выше действие является алгебраическим. Для этого надо показать, что для каждой пары элементов из фактор-группы однозначно определено отображение в эту же фактор-группу. Каждые два элемента из факторгруппы можно перемножить, в результате получим какой-то класс, принадлежащий фактор-группе (объясните, почему?). Значит, действие всюду определено. Докажем, что оно определено однозначно. Пусть . Будут ли равны классы ? Да, это следует из второго свойства нормальных делителей. Таким образом, мы доказали, что определено отображение, следовательно, действие является алгебраическим.

2. Докажем, что действие ассоциативно. Возьмем произвольные элементы из G/N. Тогда (мы воспользовались ассоциативностью в G и определением действия).

3. Найдем единицу в G/N. В группе G есть единица. При разбиении G на классы единица попадает в какой-то класс (какой именно?). Докажем, что этот класс и будет единицей в фактор-группе. Действительно, для любого элемента из G/N, .

4. Покажем, что для любого элемента из G/N: . Действительно, . Следовательно, фактор-группа является группой относительно введенного выше действия.

Упражнения

1. Доказать, что множество H={x½x=3q, qÎZ}, есть нормальный делитель группы Z относительно сложения. Построить фактор-группу Z/H.

2. G - циклическая группа 6-го порядка. G=[а]={е, а, а², а³, а⁴, а⁵}.

а) найти все подгруппы группы G;

б) показать, что каждая подгруппа является нормальным делителем группы G;

в) построить фактор-группу группы G по всем нормальным делителям;

г) проверить, являются ли построенные фактор-группы циклическими группами.

3. Найти все подгруппы циклической группы 4-го порядка и фактор-группы по ним.

ГОМОМОРФИЗМЫ ГРУПП

Определение. Пусть А - множество с алгебраическим действием “·“, В - множество с алгебраическим действием “*“. Отображение j множества А во множество В называется гомоморфизмом, если для любых a₁ ,a₂, принадлежащих множеству А, выполняется j(а₁·а₂)=j(а₁)*j(а₂).

Пример. Рассмотрим два множества: (Â⁺, × ) - множество положительных вещественных чисел с введенным в нем действием умножения; (Â,+) - множество всех вещественных чисел с введенным в нем действием сложения. Примером гомоморфизма между этими множествами может служить логарифмическая функция: j: Â⁺®Â, где "аÎÂ⁺(j(а)=lga). Действительно, lg(ab)=lga + lgb.

Определение. Гомоморфизм j: (А,×) ® (В,*) называется изоморфизмом, если j является биекцией.

Определение. Пусть j: А®В. Образом множества А при отображении j называется множество Jmj={yÎB½$xÎA(j(x)=y)}.

Предложение. Пусть даны множества (А,*), (В,´), j - гомоморфизм из А в В, (А,*) - группа. Тогда образ множества А при гомоморфизме j образует группу относительно действия “´”.

План доказательства: Нам нужно показать, что Jmy - группа относительно действия “´”. Для этого докажем, что

1) “´” - алгебраическое действие на Jmj;

2) выполняется свойство ассоциативности;

3) существует единица и для каждого элемента существует обратный. Доказательство.

1. Пусть y₁, y₂ ÎJmj. По определению образа, у₁=j(х₁), y₂=j(x₂) для некоторых x₁, x₂ÎA. Покажем, что y₁´y₂ÎJmj: y₁´y₂=j(х₁)´j(x₂)=j(х₁*x₂). Так как А - группа и x₁, x₂ÎA, то х₁*x₂ÎA. Таким образом, получили, что ($xÎA)(j(x)=y₁´y₂, а это значит, что y₁´y₂ ÎJmj. Следовательно, “´” - алгебраическое действие.

2. Возьмем произвольные y₁, y₂, y₃Î Jmj. Покажем, что (y₁´y₂)´y₃=y₁´(y₂´y₃). Имеем

(y₁´y₂)´y₃=(j(х₁)´j(x₂))´j(х₃)=j(х₁*x₂)´j(х₃)=j((х₁*x₂)*х₃)=j(х₁*(х₂*х₃))=j(х₁)´j(х₂*х₃)=j(х₁)´(j(х₂)´j(х₃))= y₁´(y₂´y₃). То есть действие ассоциативно.

3. Пусть е единица в A, j(e)ÎJmj. Покажем, что j(е) - единица множества Jmj. Возьмем yÎJmj, тогда ($хÎA)(j(х)=y). j(e)´y = j(e)´j(x) = j(e*x) = j(x) = y, y´j(e) = j(x)´j(e) = j(x*e) = j(x) = y. Следовательно, в Jmj есть единица. Найдем обратный элемент для произвольного yÎJmj. Пусть y = j(х). Рассмотрим j(x^-1): y´j(x^-1) = j(x)´j(x^-1) = j(x*x^-1) = j(e).

Но j(е) - единица в образе, следовательно, j(х^-1) - обратный элемент для j(х)=y.

Определение. Пусть j - гомоморфизм из группы G в группу G’. Ядром гомоморфизма j называется множество Kerj={xÎG½j(x)=e’}, где е’ единица группы G’.

Предложение. Пусть j - гомоморфизм, j:G®G’, G - группа, тогда Kerj является нормальным делителем группы G.

1. Докажем, что Kеrj - подгруппа группы G. Пусть x₁, x₂ÎKerj, тогда j(x₁)=е’, j(x₂)=е’. Необходимо доказать, что j(x₁x₂)=е’. Действительно, j(x₁x₂)= j(x₁)´ j(x₂) =е’´ е’=e’. Значит, x₁x₂ÎKerj.

Осталось показать, что для произвольного хÎKerj и x^-1ÎKerj. (Докажите самостоятельно.)

2. По первому свойству нормальных делителей, нужно проверить, что для произвольных хÎG и aÎKerj имеет место xax^-1ÎKerj. Рассмотрим j(xax^-1)= j(x)´j(а)´j(x^-1)=j(x)´e’´j(x^-1)=j(x)´j(x^-1)=j(xx^-1)=j(e)=e’. Значит, xax^-1ÎKerj.

Таким образом, мы доказали, что Kerj - нормальный делитель группы G

Предложение. Пусть j:G®G’. Гомоморфизм j является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Kerj={e}, Jmj=G’.

Доказательство. Необходимость. Пусть j - изоморфизм, докажем, что Kerj={e}, Jmj=G’. Так как j - биекция, следовательно, и сюръекция, то Jmj=G’. Для доказательства того, что Kerj={e}, необходимо показать, что еÎ Kerj={e} и KerjÌ{e}. Так как j - сюръекция, то элемент е’ имеет прообраз, обозначим его х. Он, по определению, принадлежит Kerj. Так как ядро - подгруппа, то х^-1ÎKerj и xx^-1 ÎKerj, но xx^-1=е, следовательно, еÎKerj. Докажем теперь обратное включение. Пусть x¹e: xÎKerj. Тогда j(x)=e’ и j(e)=e’. Следовательно, j(x)=j(е), но j - инъекция, тогда x=е. Таким образом, получили Kеrj={е}, Jmj=G’.

Достаточность. Пусть Kerj={e}, Jmj=G. Докажем, что j - биекция. Из того, что Jmj=G’, следует, что j - сюръекция. Предположим, что j не является инъекцией. То есть х₁¹х₂, а j(х₁)=j(х₂). Домножим обе части этого равенства на j(х₂^-1), получим:

j(x₂^-1)´j(х₁)=j(х₂^-1)´j(x₂), j(х₂^-1х₁)=е’, значит, x₂^-1x₁ÎKerj, то есть x₂^-1x₁=е, следовательно, x₂=x₁. Получили противоречие, следовательно, предположение неверно, то есть j - инъекция. Следовательно, j - биекция.

Схолия(теорема о гомоморфизмах групп). Пусть имеется гомоморфизм j:G®G’, Kerj - ядро, Jmj=j(G), тогда фактор-группа по ядру этого гомоморфизма изоморфна образу: G/Kеrj@Jmj.

План доказательства:

1. Установим бинарное отношение y между множествами G/Kеrj и Jmj.

2. Докажем, что y - функция, отображение, сюръекция, инъекция (то есть y - биекция).

3. Покажем, что y - гомоморфизм, то есть сохраняет алгебраическую операцию. Таким образом, мы докажем, что y - изоморфизм.

Доказательство

1. Положит y( )=j(a), где - класс смежности группы G по подгруппе Kerj, одним из элементов которого является aÎG. Это отношение y является бинарным отношением между фактор-группой G/Kеrj и Jmj, так как ÎG/Kеrj, а j(a)ÎJmj.

2. Покажем, что найденное бинарное отношение является биекцией. а) будет ли y - функцией: пусть (для простоты записи вместо s_Kerj будем писать s). Тогда, по определению функции, нужно показать, что y( )=y( ). Так как классы и равны, то (а,b)Îs, тогда, по определению, s имеем ab^-1ÎKerj, то есть j(ab^-1)= и j(a)j(b^-1)= . Умножим последнее равенство на j(b), получим j(a)j(b^-1)j(b)= j(b), откуда j(a)=j(b). Но, по определению y: j(а)=y( ), j(b)=y( ). Следовательно, y( )=y( ), а это означает, что y - функция;

б) чтобы проверить, будет ли y отображением, нужно показать, что y определено для всякого элемента из фактор-группы G/Kеrj. Пусть ÎG/Kеrj, состоит из тех и только тех элементов группы G, которые находятся в отношении s. Но s - эквивалентность, следовательно, s рефлексивно. Следовательно, аÎ . Так как j - гомоморфизм G (он всюду определен), то определено j(а). Значит, определено и y( )=j(а). Доказали, что y - отображение;

в) покажем, что y - инъекция. Предположим противное ¹ , но y( )=y( ). Так как y( )=y( ), то j(а)=j(b). Тогда

j(a)j(b^-1)=j(b)j(b^-1), то есть j(ab^-1)=j(bb^-1)= , то есть ab^-1ÎKerj и (a,b)Îs, следовательно, = , что противоречит предположению ¹ . Поэтому наше предположение неверно и y - инъекция;

г) покажем, что y - сюръекция. Для этого возьмем произвольный элемент из Jmj и найдем для него прообраз. Пусть yÎJmj. Тогда существует xÎG, такой, что j(x)=y. По определению y: y( )=j(x)=y. Следовательно, y - сюръекция.

3. Покажем, что y ( )=y( )y( ). Действительно,

y( )=y( )=j(ab)=j(a)j(b)=y( )y( ).

Итак, доказали, что G/Kerj@Jmj.

Упражнение

1. Дано: G - группа, N - нормальный делитель группы G, j(а)= для всякого aÎG. Доказать, что j является гомоморфизмом группы G в G/N. Найти Kerj и Jmj.

2. Доказать, что j: j(а)=|а| является гомоморфизмом группы Â\{0} в себя. Найти Kerj и Jmj, фактор-группу G/Kеrj, построить изоморфизм G/Kеrj®Jmj.

3. Доказать, что любая циклическая группа n-го порядка изоморфна группе корней n-ой степени из единицы относительно операции умножения.

4. Доказать, что всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел относительно операции сложения.

5. G - группа несобственных квадратных матриц относительно умножения. j: j(А)=detA для всякой АÎG. Доказать, что j - гомоморфизм группы G в группу Â\{0} относительно умножения. Найти Kerj, Jmj, G/Kеr, построить изоморфизм G/Kеrj®Jmj.

6. Найти циклическую группу, порожденную матрицей . Какой группе чисел она изоморфна?

7. G - группа всех квадратных матриц второго порядка относительно операции сложения, j: (G,+)®(Â,+):

j =a.

Доказать, что j - гомоморфизм. Найти Kerj, Jmj, G/Kеr, построить изоморфизм G/Kеrj®Jmj.