Углы между двумя прямыми, между прямой

И плоскостью

1.Пусть каждая из прямых и задана точкой и направляющим вектором, при этом

,

, .

относительно системы координат .

Пусть прямые и заданные в пространстве, не параллельны. Возьмем произвольную точку пространства и проведем через нее прямые и соответственно параллельные прямым и . Прямые и образуют четыре угла с вершиной . Каждый из этих углов называется углом между прямыми и . Если известен один из четырех указанных углов, то легко определяются остальные три угла. Один из этих углов в точности угол между направляющими векторами этих прямых.

Таким образом, угол между прямыми и вычисляется по формуле:

Отсюда получаем условие перпендикулярности двух прямых: ( ) : .

Напомним, что две взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как скрещивающимися, так и пересекающимися.

2.Если прямая не параллельна плоскости , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость .

Если же прямая перпендикулярна плоскости то угол между прямой и плоскостью считается равным .

Пусть уравнения , , и =0 определяют прямую и неперпендикулярную к ней плоскость относительно прямоугольной системы координат .

Обозначим через острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость , , где - направляющий вектор прямой ,

— вектор нормали плоскости . Если угол острый , то = Если угол тупой, то =

Таким образом,

.

Поэтому

Нетрудно убедиться в том, что эта формула остается верной и в случае перпендикулярности прямой и плоскости ( когда = , а векторы и коллинераны ) .

Пучок плоскостей

1.Пучкомплоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую ; прямая называется осью этого пучка. Пучок плоскостей с осью будем обозначать .

Пучок плоскостей вполне определяется заданием оси . Через любую точку проходит единственная плоскость пучка .

Ось пучка плоскостей может быть задана как линия пересечения двух плоскостей пучка. Пусть известны уравнения двух различных плоскостей и пучка

: , :

в аффинной системе координат , то есть

(1)

и координаты направляющего вектора прямой удовлетворяют условию (§13 п.4):

: : (2)

Если же - координаты некоторой точки , то : ( ) (3)

Плоскость , определяемая уравнением

: (4)

принадлежит пучку тогда и только тогда, когда

, (5)

. (6)

(2),(5) . Отсюда, принимая во внимание (1) получаем , , (7) , где не равны нулю одновременно

Из уравнения (6) найдем и внесем в уравнение (4), которое принимает вид:

или в силу (7):

Используя равенства (3), получаем

(8)

Итак, произвольная плоскость пучка определяется уравнением (8), и всякое уравнение вида (8) при и , не равных нулю одновременно, определяет плоскость пучка . Следовательно, уравнение (8) есть уравнение пучка . Плоскость однозначно определяется заданием отношения в уравнении (8).

2.Отношение параллельности на множестве всех плоскостей является, очевидно, отношением эквивалентности.

Элементы фактор-множества называются пучкамипараллельныхплоскостей. Следовательно, пучок параллельных плоскостей - это множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости ( представителю этого пучка).

Пучок параллельных плоскостей вполне определяется заданием одной из его плоскостей

.

Уравнение (9)

определяет произвольную плоскость этого пучка тогда и только тогда, когда

(§11) и следовательно, уравнение (9) можно представить в виде

(10)

Каждому значению соответствует определенная плоскость рассматриваемого пучка параллельных плоскостей. Через любую точку проходит единственная плоскость этого пучка; она определяется уравнением (10) при