Свойства композиции преобразований

1. Композиция преобразований не обладает свойством коммутативности.

Для доказательства достаточно привести хотя бы один пример, когда композиции преобразований fg и gf одного и того же множества не совпадают.

Пусть А={1, 2, 3, 4}. f= , то есть

f={(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}

или, что то же самое,

f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=4, g= ,

то есть g(1)=2, g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3. При указанной выше записи элемент верхней строки переходит в элемент нижней строки, стоящий под ним.

fg= ; gf= ,

таким образом, fg¹gf и, следовательно, композиция преобразований не коммутативна.

2. Докажем, что композиция преобразований обладает свойством ассоциативности, то есть для всяких f, g, h, являющихся преобразованиями множества А, имеет место (fg)h=f(gh).

Доказательство. Пусть а - произвольный элемент из А, тогда, по определению композиции, имеем

((fg)h)(а) = (fg)(h(а)) = f(g(h(а))) = f((gh)(а)) = (f(gh))(а), то есть (fg)h = f(gh).

Подводя итог рассмотрению частных случаев бинарных отношений, составим общую схему.

Декартово произведение

Бинарные отношения между Бинарные отношения

элементами множеств А и В на множестве А

функция

Отображение Эквивалентность Упорядоченность

Инъекция сюрьекция линейная упорядоченность

Биекция Преобразование

Биективное

преобразование

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Двадцати студентам было предложено определить нижнюю количественную границу понятия “толпа”.

1. Все студенты заявили, что один, два, три человека не составляют толпу.

2. Трое считали, что четыре человека и более составляют толпу.

3. Восемь студентов определили нижнюю границу понятия “толпа” в пять человек.

4. Оставшиеся студенты определили нижнюю границу понятия “толпа” в шесть человек.

Если обозначить через А некоторое подмножество множества натуральных чисел (для нашего примера А={1, 2, 3, 4, 5, 6}) и ввести отображение m: А®[0;1] такое, что m(х)= , где а - количество студентов из е имеющихся, которые считают х нижней границей понятия “толпа”. Тогда получим

m(1)= =0, m(2)= =0, m(3)= =0, m(4)= , m(5)= , m(6)= =1.

Таким образом, мы получили тройку <A,[0;1],m>, которая задает бинарное отношение между множествами А и [0;1]. Эта тройка называется нечетким множеством с основанием А и отображением m. Иногда нечеткие множества записывают как и обычные, перечисляя его элементы, но ставя значение m индексом наверху или как-то иначе.

Пример. Пусть А={x₁₇, x₁₉, x₂₁, x₃₅, x₄₅, x₅₅, x₆₅, x₁₀₀}, где x_i - мужчина, имеющий возраст i лет. Образуем нечеткое множество А - “молодой человек”. Значение m будем писать вторым индексом наверху, если m=0, то в соответствующее множество А (i=1, 2, 3) этот элемент не входит. Пусть, например, в некотором коллективе эти коэффициенты были такими

А={ }.

Теория нечетких множеств, которая начала разрабатываться в начале 60-х годов нашего века с работ американского исследователя Л.Заде, открывает довольно перспективные пути для исследования математических методов в математической лингвистике, экономических науках, в теории принятия решений, социологических исследованиях, политических исследованиях и вообще во всякого рода прогностиках.

Наибольшую трудность в теории нечетких множеств представляет определение численного значения коэффициента (индекса). Для этого используются и вероятностно-статистические методы, и приемы экспертных оценок (голосование знатоков в этой области по примеру, приведенному выше), и качественный анализ объектов, входящих в нечеткое множество.

Но для того, чтобы эти коэффициенты были наиболее достоверными, всю сложную задачу расчленяют на такие подзадачи, в которых мнение специалистов в той или иной области было бы компетентным и объективным.

При математическом моделировании распределения общей суммы денег, выделенной государством Академии наук на фундаментальные исследования между математиками, физиками, биологами, лингвистами и т. д. встает вопрос об организации процедуры экспертизы для решения этой сложной задачи. Прямой опрос специалистов разной квалификации о решении этой задачи просто не имеет смысла. Одному человеку невозможно объективно оценить значимость исследований в своей области по сравнению с другими. Ко всему прочему, ученому всегда кажется, что именно его проблематика самая весомая среди других. Поэтому сначала получают экспертные оценки в планировании опытно-конструкторских разработок (получается отображение множества научно-технических целей на множество опытно-конструкторских разработок). Для обеспечения опытно-конструкторских разработок должны быть проведены определенные исследования прикладного характера (этими оценками занимаются специалисты в прикладных исследованиях). Получается отображение множества опытно-конструкторских разработок на множество прикладных исследований. Следующая группа экспертов перечисляет возможные фундаментальные исследования для решения выделенного множества прикладных исследований и составляет иерархию значимости соответствующих фундаментальных исследований для успешного завершения выделенных прикладных исследований. Получается отображение множества прикладных исследований на множество фундаментальных. Собирая все эти задачи вместе, строят отображение множества научно-технических целей на множество фундаментальных исследований. А оттуда уже получим относительную роль фундаментальных исследований для реализации желаемой картины научно-технического состояния общества. Распределение бюджета и будет вестись пропорционально весам в построенном нечетком множестве. Интерес к экспертизам, к методам обработки экспертных оценок, который особенно стал заметен в последнее десятилетие, понятен. Долгосрочный прогноз в политических, социальных и экономических вопросах при решении масштабных задач просто необходим. Мы сейчас все время говорим о “комплексных” решениях экономических проблем. Ни один узкий специалист не в состоянии охватить всю проблему целиком (вспомните дискуссию о проблеме переброски вод северных рек, о Байкале и т.д.). Поэтому роль такой математической модели, как теория нечетких множеств, трудно переоценить. Но эта теория еще находится в разработке, она еще не получила завершенного вида и распространения среди специалистов прикладного направления. Это - дело будущего.

Объединение двух нечетких множеств А₁ и А₂ (А₁ÈА₂) - это нечеткое множество, состоящее из всех элементов А₁ и А₂ с весами, равными его максимальной величине в А₁ и А₂.

Пересечение двух нечетких множеств А₁ и А₂ (А₁ÇА₂) - это нечеткое множество, состоящее только из тех элементов, которые входят одновременно в А₁ и А₂ с весами, равными минимальной величине тех весов, которые они имели в А₁ и А₂.