ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

МНОЖЕСТВА

Творцом теории множеств является один из величайших математиков нового времени Георг Кантор. Создав теорию множеств, он во многом определил лицо современной математики. Кантор родился 2 марта 1845 года в Петербурге в семье немецкого коммерсанта, который занимался экспортом товаров из России в Германию. Мать Кантора М.Бель происходила из семьи известных венских музыкантов. Кантор получил прекрасное и разностороннее образование: он владел несколькими иностранными языками, был замечательным знатоком древних языков - латыни и греческого. Знание языков открывало ему доступ к трудам мыслителей прошлого - классической античности и средневековья. Это обстоятельство сыграло немаловажную роль при становлении теории множеств. Кантор был знаком со всеми тонкостями в рассуждениях о понятии бесконечности в трудах математиков и философов прошлых веков.

Множество

Мы говорим о множестве натуральных чисел, множестве четных чисел, множестве простых чисел, о множестве прямоугольных треугольников, множестве непрерывных функций и т.д.

Множество - неопределяемое понятие. Будем говорить, что множество есть совокупность, набор каких-либо объектов, называемых его элементами. Множество считается заданным, если про любой элемент можно сказать: принадлежит он этому множеству или нет. Обозначается: аÎА - "а есть элемент множества А", аÏА - "неверно, что а есть элемент А".

Наряду с множествами, имеющими элементы, рассматривают и пустое множество, не имеющее ни одного элемента. Его обозначают символом Æ. Заметим, что множество {Æ} включает в себя пустое множество как элемент и поэтому не пусто.

РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ.

Два множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот. (В этом случае говорят, что множества А и В состоят из одних и тех же элементов.) Если множество А равно множеству В, то этот факт записывается так: А=В.

Из определения равенства множеств следует, что для полного задания конечного множества достаточно перечислить все его элементы. Для записи таких множеств будут выписываться в произвольном порядке внутри фигурных скобок обозначения элементов множества. Так, записью {1, 2, 3} обозначается множество, элементами которого являются только 1, 2, 3. Множества {1, 3, 4} и {3, 1, 4} равны, так как они состоят из одних и тех же элементов: 1, 3, 4; порядок их записи произвольный, причем записываем только различные элементы. Следует различать одноэлементное множество {а} и его единственный элемент а. Так, множество А={a, b}, a¹b двухэлементное, а множество {А} одноэлементное; значит А ¹ {А}.

ПОДМНОЖЕСТВО

Множество А называется подмножеством множества В (синонимы: "множество А содержится в В", "множество А включено в множество В", "А часть В"), если каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае пишут: А Ì В. Знак Ì называется знаком включения. Его не следует смешивать со знаком принадлежности Î. Так, 1ÎÀ, но 1ËÀ.

Если мы хотим подчеркнуть, что во множестве À содержится множество, состоящее из одного элемента, то запишем {1}ÌÀ . Каждое непустое множество А имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и Æ. Подмножество любого множества А, отличное от А и Æ, называется собственным подмножеством множества А.

Так, ÀÌZÌQÌÂ, где À, Z, Q, Â есть соответственно множества всех натуральных, всех целых, всех рациональных и всех действительных чисел, при этом À, Z, Q - собственные подмножества множества Â.

Пусть А и В - два множества и А=В. Тогда АÍ В и В Í А. Очевидно и обратное, то есть если АÍ В и В Í А, то А=В. Этим обстоятельством часто пользуются при доказательстве равенства множеств.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Символическая запись пересечения множеств С=АÇВ.

Примеры.

1) А - множество домов на Литейном проспекте, В - множество домов на Невском проспекте. Найти пересечение А и В (Ответ: множество, состоящее из двух домов стоящих на углу Невского и Литейного проспектов).

2) А - множество домов на Московском проспекте, В - множество домов на Невском проспекте. Тогда АÇВ =Æ.

3) A={l, 2, 3, 4}; A ÇN= A.