Экспериментальные методы построения математических моделей

Экспериментальный статический материал (данные) получается в результате взаимодействия исследуемого объекта (процесса, явления) с некоторыми возмущениями. В результате этого взаимодействия получаем реакцию объекта. Соотношение между возмущениями и реакцией будет называться математической моделью объекта.

Получаемая на основе известных законов точных наук теоретические описания объектов есть теоретические математические модели. Например, имея электрическую схему устройства и зная соответствующие физические законы, можно записать систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение этого устройства во времени. Это будет теоретическая математическая модель.

Методами теории экспериментов получают эмпирические модели.

Следует заметить, что любая самая точная модель будет соответствовать объекту только для конкретных условий и может изменять свою структуру и параметры в зависимости от этих условий, а также новых знаний о самом объекте.

Рассмотрим некий обобщенный объект исследования.

Рис. 2.9. Обобщенная структурная схема объекта измерений

Выходные величины (отклики) могут быть измерены с любой, наперед заданной точностью и зависят от трех типов воздействий:

· –это управляемые и наблюдаемые в процессе эксперимента независимые переменные (факторы);

· –это наблюдаемые, но неуправляемые в процессе эксперимента переменные;

· – неуправляемые и ненаблюдаемые переменные.

Математическая модель объекта может быть записана в виде:

где –соответствующие векторы, причем их размерности могут не совпадать, т. е. .

Если в ходе эксперимента регистрация контролируемых параметров параметров осуществляется в процессе нормального функционирования, без внесения каких-либо специальных воздействий, то эксперимент называют пассивным.

Активный эксперимент подразумевает использование специальных, целенаправленных возмущений (воздействий) Х по заранее определенной программе.

Каждый способ получение информации имеет свои недостатки и преимущества. Так, например, активный эксперимент не всегда можно осуществить на любом объекте, т. к. это может привести к аварийным ситуациям В то же время пассивный эксперимент не всегда может дать полную информацию об объекте, т. к. диапазон естественных воздействий может быть мал, а режим нормального функционирования не отвечать поставленной задаче.

Успех экспериментальных исследований существенно зависит от уровня теоретических знаний об исследуемом объекте. В свою очередь эксперимент позволяет подтвердить или опровергнуть теоретические предпосылки, т. е. является мощным средством в познании законов окружающего мира.

Любой эксперимент осуществляется в соответствии с предварительно разработанным планом, который позволяет существенно снизить затраты на проведение эксперимента и повысить достоверность результатов исследований.

Очевидно, что для каждого конкретного эксперимента может быть несколько планов, поэтому нужен критерий оптимальности, позволяющей выбрать наилучший (в определенном смысле) план. В этой связи поучителен следующий пример [2.8]:

необходимо измерить массы трех объектов (а,b,c) c помощью весов. Если измерять по обычной схеме (см. табл.2.1, где +1 означает, что обьект присутствует на весах, -1означает его отсутствие), то первое измерение будет холостым, что позволит выявить систематическую погрешность весов . В результате последующих трех измерений получаем значение . Тогда исправленные результаты будут иметь вид:

A=y₁-y_0; B= y₂–y_0; C=y₃–y_0.

Табл.2.1.

№ опыта	а	b	c	Результат
	–1	–1	–1
	+1	–1	–1
	–1	+1	–1
	–1	–1	+1

Полагая, что погрешности измерений отдельных измерений равны и независимы в соответствии с (2.10) можно записать

,

где - дисперсия каждого единичного измерения.

Изменим план эксперимента, который проводим по схеме представленной в таб. 2.2. В этом случае результаты измерений будут иметь вид

а дисперсия погрешности

Таблица 2.2.

№ опыта	а	b	c	Результат
	+1	–1	–1
	–1	+1	–1
	–1	–1	+1
	+1	+1	+1

Аналогично находим

Видно, что по второму плану дисперсия погрешности результатов взвешивания вдвое меньше, хотя проведено одинаковое число опытов. Кроме того, во втором случае исключается влияние систематической составляющей погрешности .

В этом примере в качестве критерия эффективности использована дисперсия случайной погрешности. Если задача эксперимента многофакторная и многооткликовая, то критерий эффективности усложняется и представляет собой функционал от всех составляющих погрешности, а задача оптимизации сводится к минимизации этого функционала.

Теория планирования эксперимента позволяет найти ответы на следующие вопросы:

· как следует организовать эксперимент, чтобы наилучшим (оптимальным) образом решить поставленную задачу,

· как следует обработать полученные результаты эксперимента, чтобы получить максимум информации об исследуемом объекте,

· как можно интерпретировать полученный результат.

Результаты эксперимента в большинстве случаев рассматривают как случайные величины поэтому основой теории планирования эксперимента является математическая статистика и теория вероятности.