Команды меню Symbolics.

  • Операции с выделенными выражениями.
  • Операции с выделенными переменными.
  • Операции с выделенными матрицами.
  • Операции преобразования.
  • Стиль эволюции.
Операции, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в подменю позицииSymbolics (Символика) главного меню. Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция.

Само выражение в таком случае не выделяется: ведь и так ясно, что если маркер ввода выделяет переменную какого-либо выражения, то это выражение уже отмечено наличием в нем выделяемой переменной.

Следует отметить некоторые особенности при работе с командами менюSymbolics.

  • Для символьных вычислений выражения необходимо указывать явно. Например, недопустимо вводить некоторую функцию пользователя F(x) и пытаться найти ее производные или интеграл. Это существенное ограничение, о котором надо всегда помнить. Однако оно преодолимо при выполнении вычислений с помощью функций системыSmartMath, которая описывается в дальнейшем; главное в том, что для вывода символьных вычислений в этом случае используется оператор—>.
  • Иногда результат вычислений содержит встроенные в систему специальные мат. функции; в этом случае результат помещается в буфер обмена. Используя команду Paste или клавишу F4, можно вставить содержимое буфера обмена в документ как ТЕКСТ и проанализоровать полученный результат. (см.раздел Интерпретация результатов символьных операций в буфере обмена)
  • К недостаткам работы с командами меню Symbolics следует отнести то, что это ручная работа, одношаговая. При дальнейшем использовании результатов символьных вычислений необходимо с помощью операций Copy и Past присвоить этот результат некоторой переменной или функции. Кроме того, при изменении формулы, которая подвергается символьному преобразованию, результат (даже при установленном Автоматическом режиме вычислений) не пересчитывается.
  • Если операция невыполнима - система выводит сообщение об ошибке или просто повторяет выделенное выражение (без изменений)
  • В кчестве минуса при работе с командами меню Symbolics следует отметить не очень наглядную визуализацию процесса вычислений. Хотя при установке определенных параметров стиля эволюции выражений можно вывести некоторые комментарии.

Символьные операции разбиты на четыре характерных раздела. Первыми идут наиболее часто используемые операции. Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде.

Операции с выделенными выражениями.

К операциям с выделенными выражениями относятся следующие:

Evaluate (Вычислить) преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю
Simplify (Упростить) упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.
Expand (Разложить по степеням) раскрыть выражение [например, для (Х+ Y) • (Х- Y) получаем X22]
Factor (Разложить на множители) ; разложить число или выражение на множители [например, Х2- У2 даст (Х+ Y) • (Х- Y)]
Collect (Разложить по подвыражению) собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения)
Polynomial Coefficients (Полиномиальные коэффициенты) найти коэффициенты полинома по заданной переменной, приближающего выражение, в котором эта переменная использована

 

Evaluate (Вычислить)

Эта операция содержит подменю со следующими командами:

  • Evaluate Symbolically [Shift+F9](Вычислить в символах) — выполнить символьное вычисление выражения;
  • Floating Point Evaluation... (С плавающей точкой) — выполнить арифметические операции в выражении с результатом в форме числа с плавающей точкой;
  • Complex Evaluation (В комплексном виде) — выполнить преобразование с представлением в комплексном виде.

 

КомандаEvaluate Symbolically тут наиболее важная. Назначение других команд очевидно: они нужны, если результат требуется получить в форме комплексного или действительного числа. К примеру, если вы хотите вместо числа p получить 3.141..., используйте командуFloating Point Evaluation.В режиме символьных вычислений результат может превосходить машинную бесконечность системы. При этом число точных значащих цифр результата практически не ограничено (или, точнее говоря, зависит от емкости ОЗУ).

Символьная операцияEvaluate Symbolically [Shift+F9] (Вычислить) обеспечивает работу с математическими выражениями, содержащими встроенные в систему функции и представленными в различном виде: полиномиальном, дробно-рациональном, в виде сумм и произведений, производных и интегралов и т. д. Операция стремится произвести все возможные численные вычисления и представить выражение в наиболее простом виде. Она возможна над матрицами с символьными элементами. Производные и определенные интегралы, символьные значения которых вычисляются, должны быть представлены в своей естественной форме.

Особо следует отметить возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью — 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10.0 или 3.0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа.

На рисунке ниже показаны типовые примеры действия операцииEvaluate Symbolically.

Здесь слева показаны исходные выражения, подвергаемые символьным преобразованиям, а справа — результат этих преобразований. Так представлены и другие примеры, приведенные в этом разделе.

ОперацияEvaluate Symbolically одна из самых мощных. Как видно на рисунка, она позволяет в символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами.

Simplify(Упростить)

Символьная операцияSimplify (Упростить) — одна из самых важных. Эта операция позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами).

Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений на более простые. Приоритет тут отдается простоте функций. К примеру, функцияtan(x) считается более сложной, чем функцииsin(x) и cos(x). Поэтому tan(x) упрощается так, что получает представление через соотношение этих функций, что несколько неожиданно, так как в некоторых пакетах символьной математики, например Derive, ситуация иная: они заменяют отношение sin(x)/cos(x) функциейtan(x).



< Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рисунке слева даны примеры применения операцииSimplify.

Система MathCAD содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа.

Однако командаSimplify применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Наглядный пример этому продемонстрирован слева.

 

ОперациюSimplify можно использовать и для вычисления сумм и произведений символьных последовательностей. Результат операции, как и следовало ожидать, получается в символьной форме (если она существует).

Приведенные примеры могут создать впечатление, что MathCAD лихо справляется со всеми производными, интегралами, суммами и произведениями с помощью операцииSimplify. К сожалению, это далеко не так . Нередко система не справляется с кажущимися простыми справочными примерами. Надо помнить, что символьный процессор системы MathCAD обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований (в сравнении с библиотекой системы Maple V). Поэтому часто система не находит решение в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.

В результате преобразований могут появляться специальные функции — как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные синус и косинус, интегралы Френеля, эллиптические интегралы и др.). Последние нельзя использовать при создании математических выражений.

Expand (Разложить по степеням)

Действие операцииExpand (Разложить по степеням) в известном смысле противоположно действию операцииSimplify. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т. д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что действие этой операции противоположно действию операцииSimplify.К примеру, операцияSimplify преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо.

При преобразовании выражений операцияExpand Expression старается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т. д. Примеры действия операцииExpand Expression даны на рисунке слева.

Последний пример на этом рисунке показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения.

Factor (Разложить на множители)

ОперацияFactor Expression (Разложить на множители) используется для факторизации — разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений; к примеру, наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой операции даны на рисунке ниже.

В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Термин факторизация не является общепризнанным в отечественной математической литературе, но мы его оставляем в связи с созвучностью с англоязычным именем этой операции.

Collect(Разложить по подвыражению)

ОперацияCollect(Разложить по подвыражению) обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно. В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису.

Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени.

В том случае, когда комплектование по базису указанной переменной невозможно, система выдает сообщение об этом. Оно выводится в отдельном небольшом информационном окошке.

Polynomial Coefficients( Полиномиальные коэффициенты)

ОперацияPolynomial Coefficients(Полиномиальные коэффициенты) в ранних версиях MathCAD отсутствующая, служит для вычисления коэффициентов полинома.

Операция применяется, если заданное выражение – полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома. Операция полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии.
Операции с выделенными переменными.
     

Следующая группа символьных операций выполняется с выражениями, требующими указания переменной, по отношению к которой выполняется операция. Для этого достаточно установить на переменной курсор ввода. Само выражение при этом не указывается отдельно, поскольку указание в нем на переменную является одновременно и указанием на само выражение. Если выражение содержит другие переменные, то они рассматриваются как константы.

К числу операций с выделенными переменными относятся:

Solve (Решить относительно переменной) найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю (решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной)
Substitute (Заменить переменную) заменить указанную переменную содержимым буфера обмена;
Differentiate (Дифференцировать переменной) дифференцировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению по к этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);
Integrate (Интегрировать по переменной) интегрировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной;
Expand to Series... (Разложить в ряд) найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;
Convert to Partial Fraction (Разложить на элементарные дроби) разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.

 

Solve (Решить относительно переменной) Если задано некоторое выражение F(x) и отмечена переменная х, то операция Solve (Решить) возвращает символьные значения указанной переменной х, при которых F(x)=0. Это очень удобно для решения алгебраических уравнений, например квадратных и кубических, или для вычисления корней полинома. Рисунок слева содержит примеры решения квадратного уравнения и нахождения комплексных корней полинома четвертой степени.

Ранее отмечалось, что усложнение уравнения, например переход от квадратного уравнения к кубическому, может вызвать и существенное усложнение результата. Тогда система представляет решение в более компактном виде (но без общепринятой математической символики) и предлагает занести его в буфер обмена.

С помощью операцииPaste<(Вставить) в позицииEdit (Правка) главного меню можно перенести решение в основное окно системы, но оно имеет уже тип текстового комментария, а не математического выражения, пригодного для дальнейших преобразований. Впрочем, часть его можно (опять-таки с помощью буфера обмена) ввести в формульные блоки для последующих преобразований и вычислений.

Более того, форма представления результата в таком случае отличается от принятой в системе MathCAD (например, в качестве знака деления используется косая черта, для возведения в степень — составной знак ** и т. д.). Это сделано ради компактности представления результатов вычислений.

В случаях, описанных выше, пользователю надо реально оценить свои силы в упрощении решения. Это придется сделать вручную. При технических расчетах специалист нередко знает, какие из параметров решения несущественны и может отбросить их. Однако для строгих математических расчетов это не всегда возможно, поэтому даже громоздкий результат может быть весьма полезным с познавательной точки зрения.

Substitute (Заменить переменную)

ОперацияSubstitute(Подстановка) возвращает новое выражение, полученное путем подстановки на место указанной переменной некоторого другого выражения. Последнее должно быть подготовлено и скопировано (операциямиCutилиCopy)в буфер обмена. Наряду с получением результата в символьном виде эта команда позволяет найти и числовые значения функции некоторой переменной путем замены ее на числовое значение.

Подстановки и замены переменных довольно часто встречаются в математических расчетах, что делает эту операцию весьма полезной. Кроме того, она дает возможность перейти от символьного представления результата к числовому.

Differentiate(Дифференцировать переменной)

Нахождение символьного значения производной — одна из самых распространенных задач в аналитических вычислениях. ОперацияDifferentiate(Дифференцировать по переменной) возвращает символьное значение производной выражения по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка (свыше 1) нужно повторить вычисление необходимое число раз. На рисунке ниже показано применение операции дифференцирования.

Integrate (Интегрировать по переменной)

Другая не менее важная операция при символьных вычислениях — вычисление интегралов (или нахождение первообразных) для аналитически заданной функции. Для этого используется операцияIntegrate (Интегрировать по переменной). Она возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной курсором ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией.

На рисунке показаны пример символьного интегрирования по переменной х. Визуализация таких вычислений (как и описанных выше), прямо скажем, не велика: совсем неясно, откуда берутся выражения в документе и результаты чего они представляют.

Как и для операции дифференцирования, в состав исходных выражений и результатов символьного интегрирования могут входить встроенные в систему специальные математические функции.

Expand to Series... (Разложить в ряд)

ОперацияExpand to Series...(Разложить в ряд) возвращает разложение в ряд Тейлора выражения относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда п (число определяется по степеням ряда). По умолчанию задано n=6.<\p>

Разложение возможно для функции заданной переменной. В разложении указывается остаточная погрешность разложения. На рисунке представлено применение этой операции для разложения функции sin(x)/x. Минимальная погрешность получается при малых х.

Символьные операции нередко можно комбинировать для решения сложных задач.

Convert to Partial Fraction (Разложить на элементарные дроби)

ОперацияConvert to Partial Fraction(Разложить на элементарные дроби) возвращает символьное разложение выражения, представленное относительно заданной переменной в виде суммы правильных целых дробей.

Как видно из представленных примеров, применение этой операции в большинстве случаев делает результат более длинным, чем исходное выражение. Однако он более нагляден и содействует выявлению математической сущности исходного выражения.

 

Операции с выделенными матрицами.

Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Matrix (Матричные операции), которая имеет свое подменю со следующими операциями:

Transpose (Транспонировать) — получить транспонированную матрицу; Invert (Обратить) — создать обратную матрицу; Determinant (Определитель) — вычислить детерминант (определитель) матрицы.

 

Операции преобразования.

В MathCAD 2000 PRO в позицииSymbol содержится раздел операций преобразования, создающий подменю со следующими возможностями:

Fourier Transform(Преобразование Фурье)— выполнить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Inverse Fourier Transform (Обратное преобразование Фурье) — выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Laplace Transform(Преобразование Лапласа)— выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция от переменной s),

Inverse Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа) — выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция от переменной t);

Z Transform (Z-преобразование) — выполнить прямое Z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат — функция от переменной z);

Inverse Z Transform (Обратное Z-преобразование) - выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат — функция от переменной n).

На рисунке по строкам показано применение, стоответственно, преобразования фурье, Лапласа и Z-преобразования , а по столбцам - исходная функция, ее интегральное преобразование и обратное преобразование (выражения, стоящего во втором столбце).

 

Стиль эволюции.

В меню Symbolics находится команда Evaluation Style..., при исполнении которой на экран выводится диалоговое окно, позволяющее установить вид вывода результатов при работе с символьным процнссором MathCAD.

В группе переключателей Show envaluation steps (Стиль эволюции) — можно задать вывод результата символьной операции под основным выражением (со вставкой между исходным выражением и результатом пустой строки и без нее) или рядом с ним. Кроме того можно установить опции Show Comments для вставки комментариев и задать вывод результирующего выражения вместо исходного Evaluate in Place.





Дата добавления: 2016-06-29; просмотров: 1289; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.02 сек.