Определение теплопроводности материалов

Процессы теплопроводности, в которых поле температур внутри тел меняется не только в пространстве, но и по времени, называются нестационарными. Нестационарность таких процессов, прежде всего, связана с нагревом и охлаждением тел.

Любой процесс с нагрева и охлаждения можно разделить на 3 стадии. Первая охватывает начало процесса и характеризуется постепенным распространением температурных возмущений, захватывающих все новые и новые участки тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках тела может различной и сильно зависит от начального распределения температур в теле и удаленности этих точек от источника нагрева или охлаждения. Поэтому первая стадия процесса называется неупорядочным режимом.

С течением времени влияние начальных неравномерностей сглаживается, и относительная скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Наступает вторая стадия – режим упорядоченного процесса, который называют регулярным.

Затем после долгого, относительно начальной стадии, промежутка устанавливается третий режим – стационарный режим с постоянным распределением температуры в теле, не зависящим от времени.

Решения простейших задач нестационарной теплопроводности могут быть сведены к таблицам или номограммам. Однако даже в этих случаях вычисления рядов, которыми представляется точное аналитическое решение, вызывает значительные трудности, не говоря уже о телах сложной формы, изменяющихся по времени условий внешнего теплообмена и т.п. Поэтому при изучении переходных теплообменных процессов большее применение находят методы прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений. В нашем случае речь идет о численном интегрировании дифференциального уравнения теплопроводности Фурье-Кирхгофа, имеющего вид для одномерной задачи вид

где q_v – интенсивность внутренних источников или стоков тепла,

а – коэффициент температуропроводности, который определяет скорость распространения температурных возмущений, является функцией теплоинерционных свойств веществ и зависит от их теплоемкости – С_р , плотности – r и коэффициента теплопроводности – λ.

а = . (1)

Рассмотрим один из методов численного интегрирования на примере прогрева металлического стержня длиной 50 мм с диаметром поперечного сечением 20 мм с граничными условиями первого рода, когда на концах пластины заданы постоянные температуры Т₁ и Т₂. Начальные условия задаются в виде однородного распределения температур Т(х) = Т₂. При этом конвективные потери тепла через боковую поверхность стержня интерпретируются как внутренние стоки тепла, так что

q_v = a (Т_j-Т₁) ×П /S,

где П и S – периметр и площадь поперечного сечения пластины соответственно. Таким образом, задавая дополнительно к геометрическим, начальным и граничным условиям физические условия - плотность, теплопроводность и теплоемкость стержня, мы получаем полную математическую постановку задачи нестационарной теплопроводности при одностороннем нагреве стержня.

При численном интегрировании стержень условно разбивается на N отдельных ячеек, для каждой из которых составляется и многократно решается разностный аналог исходного дифференциального уравнения

Метод позволяет рассчитать поля температур и тепловых потоков внутри пластины в любой момент времени, текущие значения безразмерного времени и суммарное количество тепла, передаваемого вдоль стержня теплопроводностью. Для отладки программы в качестве контрольных примеров могут быть использованы результаты аналитического решения (если такие существуют), собственные эксперименты или опубликованные результаты других исследователей. В настоящей работе в качестве теста используются результаты лабораторного эксперимента, выполняемого на установке нестационарного теплообмена, обработанные в обобщенных безразмерных величинах q =F( Bi, Fo, x/L).

Безразмерная температура:

(2)

где T - текущая температура тела, К;

T_f - температура окружающей среды, К;

T₀ - начальная температура тела, К.

При регулярном режиме относительная температура θ во всех точках образца меняется во времени по одному закону , так что .

Величину называют темпом изменения относительной температуры. Ее можно вычислить по результатам измерения температуры в любой точке образца в разные моменты стадии регулярного режима нагрева (рис 1)

Рисунок 1 – Темп изменения относительной температуры

. (3)

При достаточно невысоких коэффициентах теплоотдачи с боковой поверхности образца темп изменения температуры прямо пропорционален коэффициенту температуропроводности