Постановка задачи конечно-элементного анализа

Различные виды анализа, выполняемые в программных систе­мах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей по­ведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элемент­ной постановке задачи моделирования исследуемая область пред­варительно разбивается на ограниченное множество конечных эле­ментов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомы­ми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потен­циалы электрических или магнитных полей. Эти переменные оп­ределяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание за­висит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например, в задачах прочностного анализа для каж­дого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степе­ней свободы, определяющих состояние всей системы в данный момент, называют волновым фронтом, который может расширяться или сужаться по мере того, как неизвестные переменные вводятся в рассматриваемую совокупность или исключаются из нее. После прохождения волнового фронта через все элементы и вычисления всех искомых переменных можно анализировать полученные ре­зультаты и строить гипотезы о поведении исследуемого изделия. В постановке задачи прочностного динамического анализа учи­тывается возмущающее воздействие, которое является функцией времени. Можно принимать во внимание рассеяние энергии, инер­ционные эффекты и переменные во времени нагрузки. Примерами таких нагрузок являются:

• циклические нагрузки (например, вращение коленчатого вала двигателя);

• внезапно прикладываемые нагрузки (удар или взрыв);

• случайные нагрузки и любые другие переменные нагрузки. Общее уравнение движения в конечно-элементной форме запи­сывается в виде

MU" + СU' + КU = F (t),

где М, С, К - матрицы соответственно масс, сопротивлений, жесткостей; U", U', U - векторы соответственно узловых ускорений, узловых скоростей, узловых перемещений; F - вектор нагрузок; t-время.

Искомые переменные системы уравнений - это элементы век­тора узловых перемещений U, которые в любой момент времени должны удовлетворять условиям равновесия системы при нали­чии сил инерции и рассеяния энергии. Решение этой системы урав­нений выполняется либо прямым методом Ньюмарка, либо мето­дом суперпозиции форм колебаний. К такому типу анализа отно­сятся: динамика переходных процессов, модальный анализ, отклик на гармоническое воздействие, спектральный анализ и отклик на случайную вибрацию.

Если действие сил инерции или процессы рассеяния энергии пренебрежимо малы и не оказывают существенного влияния на поведение изделия, то задача может быть сформулирована в виде статического прочностного анализа. Такой тип анализа наиболее часто используется, например, для определения концентрации на­пряжений в галтелях конструктивных элементов или для расчета температурных напряжений, для определения перемещений, на­пряжений, деформаций и усилий, которые возникают в изделии в результате приложения механических сил.

Уравнение статического анализа записывается в виде

KU = F

где К- матрица жесткостей; U - вектор перемещений; F - вектор сил.

Компоненты вектора сил: сосредоточенные силы, тепловые на­грузки, давления и силы инерции. В процессе анализа можно учи­тывать такие нелинейные свойства, как пластичность и ползучесть материала, большие прогибы, большие деформации и контактное взаимодействие при условии, что нагрузки возрастают постепенно.