Тригонометрический ряд Фурье

Ряд Фурье по ортонормированной системе тригонометрических функций (3) §1 называется тригонометрическим рядом Фурье. В дальнейшем будем называть его просто рядом Фурье.

Чаще в тригонометрический ряд Фурье разлагают функцию не по ортонормированной системе, а по ортогональной ненормированной системе

(1)

Ряд Фурье записывается в виде

(2)

при этом коэффициенты, согласно (12) §2 определяются формулами

(3)

(4)

Разложение (2) справедливо только на отрезке Но поскольку правая часть (2) - функция периодическая, то продолжая функцию заданную на отрезке периодически с периодом добьемся того, что разложение (2) будет справедливо на всей числовой оси.

Пусть теперь функция задана на отрезке Введем замену Тогда Запишем ряд Фурье для функции

Вернемся теперь к старой переменной Тогда и

(5)

(6)

Аналогично найдем

(7)

Если функцию считать периодической с периодом то разложение (5) будет справедливо на всей числовой оси.

Пусть функция задана на отрезке Продолжим ее периодически на всю числовую ось с периодом

тогда

Докажем, что для периодической функции с периодом

(8)

Действительно,

Равенство (8) доказано. Учитывая, что также периодические функции с периодом найдем, что

(9)

Аналогично,

(10)

(11)

Легко убедиться, что

Отсюда следует, что четная функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а нечетная - только по синусам.

Пример.Разложить функцию в ряд Фурье.

Решение.1-й способ. Продолжим функцию периодически с периодом (см. рис. 4), получим функцию

(12)

2-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию четным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим функцию четную.

(13)

3-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию нечетным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим нечетную функцию (14)