Тригонометрический ряд Фурье
Ряд Фурье по ортонормированной системе тригонометрических функций (3) §1 называется тригонометрическим рядом Фурье. В дальнейшем будем называть его просто рядом Фурье.
Чаще в тригонометрический ряд Фурье разлагают функцию не по ортонормированной системе, а по ортогональной ненормированной системе
(1)
Ряд Фурье записывается в виде
(2)
при этом коэффициенты, согласно (12) §2 определяются формулами
(3)
(4)
Разложение (2) справедливо только на отрезке Но поскольку правая часть (2) - функция периодическая, то продолжая функцию заданную на отрезке периодически с периодом добьемся того, что разложение (2) будет справедливо на всей числовой оси.
Пусть теперь функция задана на отрезке Введем замену Тогда Запишем ряд Фурье для функции
Вернемся теперь к старой переменной Тогда и
(5)
(6)
Аналогично найдем
(7)
Если функцию считать периодической с периодом то разложение (5) будет справедливо на всей числовой оси.
Пусть функция задана на отрезке Продолжим ее периодически на всю числовую ось с периодом
тогда
Докажем, что для периодической функции с периодом
(8)
Действительно,
Равенство (8) доказано. Учитывая, что также периодические функции с периодом найдем, что
(9)
Аналогично,
(10)
(11)
Легко убедиться, что
Отсюда следует, что четная функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а нечетная - только по синусам.
Пример.Разложить функцию в ряд Фурье.
Решение.1-й способ. Продолжим функцию периодически с периодом (см. рис. 4), получим функцию
(12)
2-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию четным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим функцию четную.
(13)
3-й способ. Доопределим функцию на отрезке нулем, продолжим эту новую функцию нечетным образом на отрезок а затем периодически с периодом Получим нечетную функцию (14)
Заметим, что на отрезке ряды (12,13,14) сходятся в среднем квадратичном к функции
Преобразуем n-ое слагаемое ряда (5) (см. рис. 5)
(15)
Выражение (15) называется n-ой гармоникой, амплитудой, частотой, начальной фазой.
С учетом (15) ряд (5) можно записать так:
(16)
Совокупность амплитуд и частот называют дискретным спектром функции
Учитывая, что
n-ю гармонику можно записать в виде:
(17)
Полагая и учитывая (17), ряд Фурье (5) можно записать в комплексном виде (18)
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 262;