Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость

то её параметры a, b, c находят из условия минимума функции:

(7)

Условия минимума функции (7) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

при решении, которой находим искомые значения параметров a, b и c.

Пример. Пусть в результате эксперимента получена следующая таблица значений x и y:

Требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной функцией.

Таблица

N	xi
	0,5	0,25	0,705	0,3225
	0,6	0,36	0,495	0,2970
	0,7	0,49	0,426	0,2982
	0,8	0,64	0,357	0,2856
	0,9	0,81	0,368	0,3312
	1,0	1,0	0,406	0,4060
	1,1	1,21	0,549	0,6039
	1,2	1,44	0,768	0,9216
Σ	6,8	6,2	4,074	3,496

Подставляя вычисленные суммы в систему (6) получаем линейную систему с двумя неизвестными:

6,2a + 6,8b = 3,496

6,8a + 8b = 4,074

Отсюда: a = 0,07365; b = 0,4469

Следовательно, вид полинома: y = 0,07365 + 0,4469

Вид полинома показан на графике.

В системе MathCad это делается так:

Зависимость:

y = 0,079x + 0,442

Более точная аппорксимация с помощью квадратичной функции

Зависимость:

вектор разности

между текущим и

начальным моментами

наблюдений

вектор значений блеска

переменной

вид искомой функции

коэффициенты вектора F

Рис.1 Последовательность вычислений

Звёздные величины

Разность между текущим и начальным моментами наблюдений

Рис.2. Искомая усреднённая кривая изменения блеска переменной (пунктир) и наблюдательные точки (крестики)

Обработка результатов наблюдений мирид с помощью универсальной математической системы MathCad.

Известно, что глазомерные оценки блеска переменных звёзд, особенно любительские, не отличаются большой точностью. Опытные переменщики знают как сильно влияют на точность оценок время суток, подсветка, атмосферные условия и другие факторы, в том числе и физическое состояние наблюдателя. Следовательно, возможность точного определения максимума или минимума блеска представляется сомнительной, если не пользоваться статистическими методами обработки результатов наблюдений. Профессионалы используют для этого свои оригинальные программные продукты, которые в большинстве случаев любителям недоступны. Поэтому Автор советует использовать для статистической обработки глазомерных оценок блеска широко распространённую систему MathCad (см. например MathCad 6.0 PLUS, Изд. Филинъ, 1997 или Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCad 7, М.: “Нолидж”, 1998) . Эта система имеет большой выбор статистических операторов.

В качестве примера Автором получено уточнённое значение максимума блеска мириды U Ori. Определение максимума сводится к аппроксимации совокупности наблюдательных точек, если рассматривать их как проявления некоторого случайного процесса. Особенно удобно это делать, если таких точек недостаточно, например несколько оценок имеется на восходящем участке кривой блеска, несколько – на нисходящем. Момент максимума неизвестен, поэтому плавная аппроксимирующая кривая поможет уточнить его момент, даже при отсутствии наблюдений в это время. Плавная кривая проводится через наблюдательные точки не “на глазок” как это предлагается в известной книге В.П.Цесевича “Переменные звёзды и их наблюдение” (1980) или в книге “Переменные звёзды” (К.Гоффмейстер, Г.Рихтер, В.Венцель, 1989), а с использованием MathCad”овского оператора linfit, принцип работы которого основан на методе наименьших квадратов.

Вначале задаём вектор vx – совокупность моментов наблюдений. Для удобства каждое число – разность значений JD_i – JD₀ , где JD_i - момент наблюдений, а JD₀ – некоторый выбранный момент близкий к начальному. Затем задаётся вектор vy - совокупность звёздных величин. Таким образом получено два вектора, в которых каждому моменту наблюдений поставлена в соответствие оценка блеска. Затем необходимо подобрать вид искомой функции приближения. Казалось бы, если речь идёт о периодических переменных, такая функция также должна быть периодической, например синусоидальной, но любитель, как правило, имеет возможность наблюдать мириды в состоянии близком к максимуму, к тому же не забудем, что у мирид часто изменяется период и форма кривой блеска, поэтому аппроксимация периодической функцией может оказаться неэффективной. Кроме того, интерес представляют как раз моменты максимумов мирид, что с ними делается в другое время не столь важно. Поэтому лучше всего искать приближение в виде функции, имеющей, по меньшей мере, один ярко выраженный экстремум, но несимметричной, так как подъём блеска у мирид происходит быстрее, чем его падение, что, кстати, видно из совокупности полученных моментов наблюдений(рис.2). Таким образом, наилучшей функцией для аппроксимации представляется степенная, но не выше третьего порядка. Можно показать, что дальнейшее уточнение приводит к появлениям бесконечно малых высшего порядка и не представляет интереса (это чисто математическое доказательство приводить здесь нецелесообразно). На рис.1 показана последовательность вычислений с необходимыми комментариями, являющаяся весьма простой даже для школьника или студента младшего курса.

Единственная сложность заключается, пожалуй, в подборе аппроксимирующей функции, который основывается на интуиции исследователя, но пытливого человека такие трудности должны не пугать, а, напротив, вдохновлять. Эта зависимость показана на рис.2 в виде пунктирной кривой. Крестиками показаны наблюдательные точки. Итак полученная нами плавная кривая описывается многочленом третьей степени. Его коэффициенты показаны на рис.1 в виде вектора F(x). Последовательность дальнейших действий такова. Этот многочлен необходимо продифференцировать и производную приравнять нулю. Таким образом получится уравнение второй степени с одним неизвестным. Теперь, если ненулевое решение этого уравнения прибавим к JD₀ (см. выше) получим точное значение момента максимума в Юлианских днях. Как видно из рис.2 усреднённый момент максимума не совпадает с моментом наблюдений максимального блеска, но именно он является более близким к истинному, так как статистическая обработка, если не исключает полностью, то в наибольшей степени снижает влияние ошибок, основные причины которых перечислены выше. В данном случае исследование полученной усреднённой кривой на экстремум даёт значение максимума блеска мириды M = 2451512.5JD. Соответствующий этому значению визуальный блеск m_vis = 7^m.37.

Вычислительную систему MathCad рекомендуем применять лишь для статистического анализа, последовательность действий которого приведена на рис.1. Дальнейший процесс исследования аппроксимирующей функции на максимум должен быть хорошо знаком всякому школьнику 10-11 класса, поэтому применение мощных средств вычислительной техники для таких элементарных операций нецелесообразно. Кроме того, важно, что в этом случае начинающему любителю – школьнику или студенту предоставляется возможность применить на практике, полученные в школе знания, и, используя абстрактную математику получить пусть не очень значительный, но реальный научный результат.

Функция:

Производная функции:

Отсюда x = 53.164 подставляем в исходное уравнение и получаем близкое к истинному значение измеряемой величины – блеск звезды: