Переход к безразмерным величинам.

При проведении численных расчетов, вне зависимости от типов решаемых задач, принято прибегать к т.н. безразмерным величинам, т.е. оперировать напрямую не с конкретными физическими величинами, а с их представлениями в масштабах. Поясним, что это означает. В уравнения (4.7), (4.8) входят постоянные размерные параметры m, e, s, имеющие размерности в системе СИ

[m] = [кг], [e] = [Дж], [s] = [м]

и численные значения по порядку величин

m ~ 10^–23 кг, e ~ 10^–19…10^–21 Дж, s ~ 10^–10 м.

Из приведенных величин можно составить другие, имеющие размерности времени t_* и скорости v_*, которые и называются масштабами:

,

которые имеют порядок v_* ~ 10…100 м/с, t_* ~ 10^–11…10^–12 с.

При решении (4.7), (4.8) напрямую, во-первых, неудобно оперировать столь малыми величинами, во-вторых, нет возможности решить задачу один единственный раздля твердых тел, жидкостей или газов. Большие преимущества могут быть получены при переходе к безразмерным величинам x¢_i, y¢_i, t¢ согласно формулам

.

Рассмотрим левую и правую части уравнения (4.7)

,

,

.

Подставив полученные выражения в (4.7) получим

.

Совершенно аналогичные уравнения получаются из (4.8):

. (4.9)

Ниже для простоты записи мы штрихи вверху символом будем опускать. Правые части последних уравнений представляют собой (безразмерные) ускорения, для которых мы примем из соображений удобства отдельные обозначения. Таким образом, требуется решить системы уравнений

, (4.10)

.

Получаемые числовые значения в безразмерных единицах легко пересчитываются на размерные величины посредством масштабов. Например, если безразмерное время t или координата x получились в результате решения (4.10) равными соответственно t = 2,3; x = 4,1, то размерные их значения будут равны соответственно

.

Аналогично осуществляется перевод на размерные значения любых других переменных или параметров.

Обратим внимание, в системе уравнений (4.10) в явном виде нет никаких параметров и переменных, характеризующих рассматриваемую систему частиц. Это означает, что в рамках предложенной модели любая среда - газ, жидкость или твердое тело, вне зависимости от своей природы, математически описывается одинаковым образом. В первом приближении так оно и есть.