Локальное сглаживание данных

Как отмечалось раньше, опытные данные содержат случайные ошибки, что является причиной разброса этих данных. Во многих случаях бывает целесообразно провести их сглаживание для получения более плавного характера исследуемой зависимости. Рассмотрим один из них, основанный на методе наименьших квадратов.

Пусть в результате экспериментального исследования зависимости y=f(x) получена таблица значений искомой функции y₀, y₁,…, y_n в точках x₀, x₁,…, x_n. Значения аргумента x_i предполагаются равноотстоящими, а опытные данные y_i – имеющими одинаковую точность. Предполагается также, что функция y=f(x) на произвольной части отрезка [x₀, x_n] может быть достаточно хорошо аппроксимирована многочленом некоторой степени m.

Рассматриваемый способ сглаживания состоит в следующем. Для нахождения сглаженного значения в точке x_i выбираем по обе стороны от нее k значений аргумента из имеющихся в таблице (k четное): x_i–k/2,…, x_i–1, x_i, x_i+1,…, x_i+k/2. По опытным значениям рассматриваемой функции в этих точках y_i–k/2,…, y_i–1, y_i, y_i+1,…, y_i+k/2 строим многочлен степени m с помощью метода наименьших квадратов (при этом m ≤ k). Значение полученного многочлена в точке x_i и будет искомым (сглаженным) значением. Процесс повторяется для всех внутренних точек. Сглаживание значений, расположенных вблизи концов отрезка [x₀, x_n], производится с помощью крайних точек.

Опыт показывает, что сглаженные значения , как правило, с достаточной степенью точности близки к истинным значениям. Иногда сглаживание повторяют. Однако это может привести к существенному искажению истинного характера функциональной зависимости.