Определение параметров эмпирической зависимости

Будем считать, что тип эмпирической формулы выбран, и ее можно представить в виде:

(4.5)

где φ – известная функция, a_i – неизвестные постоянные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках x_i равны y_i (i = 0,1,…, n).

Здесь не ставится условие (как в случае интерполяции) совпадения опытных данных y_i со значениями эмпирической функции (4.5) в точках x_i. Разность между этими значениями (отклонения) обозначим через ε_i. Тогда

. (4.6)

Задача нахождения наилучших значений параметров a₀, a₁,…, a_m сводится к некоторой минимизации отклонений ε_i. Существует несколько способов решения этой задачи.

Простейшим из них является метод выбранных точек. Он состоит в следующем. По заданным экспериментальным значениям на координатной плоскости X0Y наносится система точек. Затем проводится простейшая плавная линия (например, прямая), которая наиболее близко примыкает к данным точкам. На этой линии выбираются точки, которые, вообще говоря, не принадлежат исходной системе точек. Число выбранных точек должно быть равным количеству искомых параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек тщательно измеряются и используются для записи условия прохождения графика эмпирической функции (4.5) через выбранные точки:

. (4.7)

Из этой системы уравнений находим значения параметров a₀, a₁,…, a_m.

В частности, если в качестве эмпирической формулы принята линейная зависимость , то на этой прямой выбираются точки и , и уравнения (4.7) примут вид

(4.8)

Можно также записать уравнение прямой, проходящей через эти выбранные точки. В этом случае не нужно решать систему (4.8).

Рассмотрим еще один способ определения параметров эмпирической формулы – метод средних. Он состоит в том, что параметры a₀, a₁,…, a_m зависимости (4.5) определяются с использованием условия равенства нулю суммы отклонений (4.6) во всех точках x_i:

(4.9)

Полученное уравнение служит для определения параметров a₀, a₁,…, a_m. Ясно, что из одного уравнения нельзя однозначно определить все m+1 параметров. Однако, поскольку других условий нет, равенство (4.9) путем группировки отклонений ε_i разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например,

(4.10)

Решая эту систему уравнений, можно найти неизвестные параметры.

Рассмотренные методы определения параметров эмпирической формулы являются сравнительно простыми, однако в ряде случаев получаемые с их помощью аппроксимации не обладают достаточной точностью. В настоящее время одним из наиболее распространенных методов для аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов.