Частотная передаточная функция и частотные характеристики
Пусть на входе динамического звена (рис.3.2) имеется гармоническое воздействие где - амплитуда, а w - угловая (круговая) частота этого воздействия.
На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол Y:
(3.7)
Воспользуемся формулой Эйлера
и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций:
(3.8)
Дифференциальное уравнение звена запишем в виде
(3.9)
Выражения (3.8) есть частное решение дифференциального уравнения (3.9). В линейной системе на основании принципа суперпозиции эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий и , может быть определен отдельно. Рассмотрим действие составляющей . Тогда
(3.10)
Найдем производные функций (3.10):
. (3.11)
Подставим значения входной и выходной величин и их производных в дифференциальное уравнение (3.9):
= (3.12)
После сокращения на общий множитель найдем:
(3.13)
Выражение (3.14)
называется частотной передаточной функцией звена, которая представляет собой комплексное число. Выражение (3.14) можно представить в виде
(3.15)
где - соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики звена:
(3.16)
Комплексное число можно выразить через его модуль и аргумент:
(3.17)
где амплитудная частотная характеристика звена;
- фазовая частотная характеристика звена.
Выражения (3.15) и (3.17) связаны между собой соотношениями
(3.18)
Сравнивая выражения (3.13) и (3.17), можно записать:
(3.19)
Таким образом, частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Если рассмотреть действие составляющей , то соотношение между составляющими и получается таким же, как между и .
Для наглядного представления частотных свойств звена строится на комплексной плоскости его амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.3.3). По оси абсцисс откладывается вещественная часть и по оси ординат – мнимая часть Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются плавной кривой. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты и т.д.
Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.
Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ).
АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 120;