Основные теоретические положения

Сущность операторного метода заключается в том, что от некоторой функции вещественного переменного (например, времени t), называемой оригиналом f(t), переходят к функции комплексного переменного f(р), называемой изображением. При этом дифуравнения относительно оригиналов превращаются в алгебраические уравнения относительно изображений, решение которых проще.

Изображение и оригинал функции связывают формулой прямого преобразования Лапласа f(р) = .

В справочной литературе имеются таблицы оригиналов и соответствующих им изображений. Изображения наиболее характерных оригиналов приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Оригинал функции	Изображение по Лапласу
U0, Jk, uC(0)	, ,
U0·e ±at, 1 – 1·e -at	,
1·t, tn, t·e -at	, ,
e j(wt +y)
sin(wt +y)	Im =
cos(wt +y)	Re =
Теорема дифференцирования, f ¢(t)	pf(р) – f(0)
Теорема интегрирования

Закон Ома для последовательного участка R-L-C:

I(р) = ,

где Z(р) = R + pL + – операторное сопротивление этого участка.

В числителе кроме изображения напряжения на зажимах участка U(р)

фигурируют внутренние операторные ЭДС Li_L(0) и , учитывающие независимые начальные условия.

I закон Кирхгофа: для любого узла S ±I(р) = 0.

II закон Кирхгофа: для любого контура

= .

Поскольку законы Ома и Кирхгофа в операторной форме имеют такой же вид, как и в цепях постоянного тока (ЦПТ), то все методы анализа ЦПТ, основанные на этих законах, могут быть применены для анализа операторных схем с учётом независимых начальных условий.

По изображениям искомых величин, полученным в результате анализа операторной схемы, находят оригиналы искомых величин. Для этого применяют обратное преобразование Лапласа или используют таблицу преобразований Лапласа, или пользуются теоремой разложения. В последнем случае изображение искомой величины приводят к виду:

f(р) = или ,

где f₁(р) и f₂(р) – степенные многочлены:

f₁(р) = b_m p^m + b_m-1 p^m-1 + … + b₁ p + b₀, f₂(р) = a_n pⁿ + a_n-1 p^n-1 + … + a₁ p + a₀,

причём m £ n и дробь несократима (числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). Оригинал определяется по формулам:

® f(t) = или ® f(t) = + ,

где p_k – корни уравнения f₂(р) = 0, а n – число корней этого уравнения,

f₁(р_k) и f₂¢(р_k) – значения многочлена f₁(р) и производной от многочлена f₂(р) при k-м корне.

В случае пары комплексных сопряжённых корней можно использовать следующие формулы: ® f(t) = 2Re

или ® f(t) = + 2Re .

Рекомендуемая последовательность расчёта ПП операторным методом.

1. Расчётом цепи до коммутации определяют независимые начальные условия i_L(0), u_C(0) и записывают величины внутренних операторных ЭДС Li_L(0) и .

2. Для цепи после коммутации составляется эквивалентная операторная схема.

3. Любым методом анализа ЦПТ определяют изображения требуемых токов и напряжений, приводя затем их к виду рациональной дроби.

4. По теореме разложения или с помощью обратных преобразований Лапласа находят оригиналы искомых токов и напряжений переходного процесса.