Переходные процессы в цепях с двумя накопителями

ir

iC

uC

iL

С

r

U

Рис. 7.40

L

ЗАДАЧА 7.23. В схеме рис. 7.40 рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи:

U = 100 В, r = 100 Ом, L = 0,1 Гн,

С = 1,6 мкФ. Построить график тока i_r(t).

Решение

1. Независимые начальные условие нулевые:

u_C(0₊) = u_C(0_-) = 0; i_L(0₊) = i_L(0_-) = 0.

2. Принуждённые составляющие токов:

i_Спр = 0, i_Lпр = i_{r пр} = = = 1 А.

3. Характеристическое уравнение:

+ = 0 или LrС×р² + L×р + r = 0.

Корни характеристического уравнения:

р_1,2= = = с ^–1,

р₁ = -1250 с ^–1, р₂ = -5000 с ^–1.

4. Вид свободных составляющих:

i_Lсв(t) = А₁×е ^р1×t + А₂×е ^р2×t,

i_{r св}(t) = В₁×е ^р1×t + В₂×е ^р2×t,

i_Ссв(t) = D₁×е ^р1×t + D₂×е ^р2×t.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_Lсв(0) = А₁ + А₂,

i_{r св}(0) = В₁ + В₂,

i_Ссв(0) = D₁ + D₂,

i_Lсв¢(0) = р₁×А₁ + р₂×А₂;

i_{r св}¢(0) = р₁×В₁ + р₂×В₂;

i_Ссв¢(0) = р₁×D₁ + р₂×D₂.

5. Для определения постоянных интегрирования рассчитаем начальные условия. С этой целью составим систему уравнений по законам Кирхгофа для нулевого момента времени, причём учтём уравнение связи между током и напряжением на конденсаторе:

i_L(0) – i_С(0) – i_r(0) = 0,

L×i_L¢(0) + u_C(0) = U,

u_C(0) – i_r(0)×r = 0,

i_С(0) = С×u_C¢(0).

Отсюда начальные значения токов:

i_r(0) = u_C(0)/r = 0; i_С(0) = i_L(0) – i_r(0) = 0.

Начальные значения производных: u_C¢(0) = i_С(0)/С = 0;

i_r¢(0) = u_C¢(0)/r = 0;

i_L¢(0) = (U – u_C(0))/L = 100/0,1 = 1000 А/с;

i_С¢(0) = i_L¢(0) – i_r¢(0) = 1000 А/с.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_Lсв(0) = i_L(0) – i_Lпр(0)=0 – 1= -1 А,

i_Lсв¢(0) = i_L¢(0) – i_Lпр¢(0)=1000 – 0 =1000 А/с,

i_{r св}(0) = i_r(0) – i_{r пр}(0) = 0 – 1 = -1 А,

i_{r св}¢(0) = i_r¢(0) – i_{r пр}¢(0) = 0,

i_Ссв(0) = i_С(0) – i_Спр(0) = 0, i_Ссв¢(0) = i_С¢(0) – i_Спр¢(0) = 1000 – 0 = 1000 А/с.

Таким образом, получаем и решаем следующие три системы уравнений:

А₁ + А₂ = -1,

р₁×А₁ + р₂×А₂ = 1000;

А₂ = -1 – А₁ = -1 + 1,065 = 0,065,

А₁ = = = -1,065.

В₁ + В₂ = -1,

р₁×В₁ + р₂×В₂ = 0;

В₂ = -1 – В₁ = -1 + 1,33 = 0,33,

В₁ = = = -1,33.

D₁ + D₂ = 0,

р₁×D₁ + р₂×D₂ = 0;

D₂ = -D₁ = -0,266,
D₁ = = = 0,266.

ir(t)

0,5

А

t

мс

ir

Рис. 7.41

irпр

6. Записываем окончательные выраже-ния для токов в соответствии с классическим методом расчёта:

i_L(t) = i_Lпр(t) + i_Lсв(t) = 1 – 1,065×е ^–1250t + 0,065×е ^–5000t А,

i_r(t) = i_{r пр}(t) + i_{r св}(t) = 1 – 1,33×е ^–1250t + 0,33×е ^–5000t А,

i_С(t) = i_Спр(t) + i_Ссв(t) = 0,266×е ^–1250t – 0,266×е ^–5000t А.

i2

uC

r

r

i1

С

r

U

Рис. 7.42

L

i3

7. Построим график тока i_r(t) (рис. 7.41). Длительность переходного процесса с учётом |p₂| > |p₁| T_ПП = = с = 3,2 мс.

ЗАДАЧА 7.24. В схеме рис. 7.42 рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи:

U = 100 В, r = 50 Ом, L = 0,2 Гн,

С = 40 мкФ. Построить график тока i₁(t).

Решение

1. Независимые начальные условия:

u_C(0₊) = u_C(0_-) = 0;

i₃(0₊) = i₃(0_-) = = = 2 А.

2. Принуждённые составляющие токов: i_2пр = 0, i_1пр = i_3пр = = = 1 А.

3. Характеристическое уравнение:

+ r + = 0 или

2LrС×р² + (L+ 3r ²С)р + 2r = 0

или 2×0,2×50×40×10 ^-6×р² + (0,2+ 3×50²×40×10 ^-6)р + 2×50 = 0,

или 0,8×10 ^-3×р² + 0,5×р + 100 = 0.

Корни характеристического уравнения: р_1,2 = -312,5 ± j165,4 с ^–1.

4. Вид свободных составляющих:

i_1св(t) =А×е ^-at×sin(wt +Y₁), i_2св(t) =В×е ^-at×sin(wt +Y₂), i_3св(t) =D×е ^-at×sin(wt +Y₃),

где коэффициент затухания a = |Re(р₁)| = 312,5 с ^–1;

угловая частота свободных колебаний w = Im(р₁) = 165,4 рад/с ^–1.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_1св(0) = А×sinY₁, i_1св¢(0) = -a×А×sinY₁ + w×А×cosY₁;

i_2св(0) = В×sinY₂, i_2св¢(0) = -a×В×sinY₂ + w×B×cosY₂;

i_3св(0) = D×sinY₃, i_3св¢(0) = -a×D×sinY₃ + w×D×cosY₃.

5. Для определения постоянных интегрирования рассчитаем начальные

условия. С этой целью составим систему уравнений по законам Кирхгофа для нулевого момента времени, причём учтём уравнение связи между током и напряжением на конденсаторе:

i₁(0) – i₂(0) – i₃(0) = 0,

r×i₁(0) + r×i₂(0) + u_C(0) = U,

r×i₁(0) + L×i₃¢(0) + r×i₃(0) = U,

i₂(0) = С×u_C¢(0).

Отсюда начальные значения токов: i₁(0) = i₂(0) + 2,

i₂(0) = = = 0; i₁(0) =2 А.

Начальные значения производных: u_C¢(0) = i₂(0)/С = 0;

i₃¢(0) = = = -500 A/с;

i₁¢(0) = -i₂¢(0) = i₃¢(0)/2 = -250 А/с.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_1св(0) = i₁(0) – i_1пр(0) = 2 – 1 = 1 А, i_1св¢(0) = i₁¢(0) – i_1пр¢(0) = -250 А/с,

i_2св(0) = i₂(0) – i_2пр(0) = 0, i_2св¢(0) = i₂¢(0) – i_2пр¢(0) = 250 А/с,

i_3св(0) = i₃(0) – i_3пр(0) = 2 – 1 = 1 А, i_3св¢(0) = i₃¢(0) – i_3пр¢(0) = -500 А/с.

Таким образом, получаем и решаем следующие три системы уравнений:

А×sinY₁ = 1,

-a×А×sinY₁ + w×А×cosY₁ = -250;

А×cosY₁ = = = 0,3779,

А= = = 1,069,

tgY₁ = = = 2,646,
Y₁ = 69,3°.

В×sinY₂ = 0, B = 1,511,

-a×B×sinY₂ + w×B×cosY₂ = 250; Y₂ = 0°.

D×sinY₃ = 1,

-a×D×sinY₃ + w×D×cosY₃ = -500;

D×cosY₃ = = -1,134,

D = = 1,512,
tgY₃ = = -0,882,но cosY₃ < 0, поэтому Y₃ = 180° + arctg(-0,882) = 138,6°.

6. Записываем окончательные выражения для токов в соответствии с классическим методом расчёта:

i₁(t) = i_1пр(t) + i_1св(t) = 1 + 1,069×е ^–312,5t×sin(165,4t + 69,3°) А,

i₂(t) = i_2пр(t) + i_2св(t) = 1,511×е ^–312,5t×sin(165,4t) А,

i₃(t) = i_3пр(t) + i_3св(t) = 1 + 1,512×е ^–312,5t×sin(165,4t + 138,6°) А.

7. Построим график тока i₁(t) (рис. 7.43). Длительность переходного процесса T_ПП = = с = 12,8 мс.

Период свободных колебаний T₀ = = = 0,038 с = 38 мс.

i1св

i1пр

t

мс

А

i1

i1(t)

Рис. 7.43