ПП в цепях с одним накопителем

Принуждённые составляющие рассчитываются любыми ранее изученными методами, а вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Существует несколько способов составления характеристического уравнения.

1 способ. По имеющемуся дифференциальному уравнению:

K_n· + K_n-1· + … + K₁· + K₀·i = f(t).

n-я производная заменяется на pⁿ; . . . ; первая производная на p; сама величина – 1; правая часть – 0, то есть

K_n·pⁿ + K_n-1·p^n-1 + . . . + K₁·p + K₀ = 0.

2 способ.Путём записи входного сопротивления в операторной форме:

1. Источники заменяются их внутренними сопротивлениями, а ключ показывается в послекоммутационном состоянии.

2. Цепь размыкается в любом месте. Рекомендуется разрывать в ветви с конденсатором, а при его отсутствии – в ветви с индуктивностью.

3. Относительно полученных зажимов записывается входное сопротивле-ние в комплексной форме Z(jw) (индуктивное сопротивление – jwL, а ёмкостное – 1/(jwС)).

4. Производится замена jw = p. Получаем входное сопротивление Z(p) в операторной форме.

5. Полученное сопротивление приравниваем к нулю, т.е. Z(p) = 0. Это и есть характеристическое уравнение.

3 способ. Используя систему динамических уравнений цепи:

1. Составляется система динамических уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи.

2. Полученная система алгебраизируется (из дифференциальных уравнения превращаются в алгебраические в операторной форме).

3. Определитель системы приравнивается к нулю и получается характеристическое уравнение.

Если корень характеристического уравнения один (обязательно отрицательный), свободная составляющая имеет вид: i_св(t) = A·e^pt,

где A – постоянная интегрирования;

Если корней два, оба действительные, отрицательные, разные, причём |p₁| < |p₂|, то i_св(t) = A₁· + A₂· .

Если корней два – действительные, отрицательные, равные (p₁ = р₂ = р), то i_св(t) = A₁·e^pt + A₂·t·e^pt,

где A₁ и A₂ – две постоянные интегрирования;

Если корней два – комплексные, сопряжённые, т.е. p_1,2 = -b ± jw₀, то

i_св(t) = A·e^-bt·sin(w₀t + y),

где A и y – постоянные интегрирования.

Количество корней характеристического уравнения определяет число постоянных интегрирования и равно количеству накопителей энергии в цепи после коммутации.

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий (значения электрических величин и их производных в начальный момент после коммутации), которые делятся на независимые и зависимые. К независимым относятся значения в момент коммутации потокосцепления и тока индуктивности, заряда и напряжения конденсатора. Остальные начальные условия считаются зависимыми.

Высказанные выше положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выра-жают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда ёмкости и называются законами коммутации.

Первый закон коммутации: в индуктивном элементе ток и магнитный поток непосредственно после коммутации сохраняют значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться

именно с этих значений: Y(0₊) = Y(0_-), i_L(0₊) = i_L(0_-),

где t = 0₊ – момент сразу после коммутации,

t = 0_- – момент непосредственно перед коммутацией.

Второй закон коммутации: на ёмкостном элементе напряжение и заряд сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений: q(0₊) = q(0_-), u_C(0₊) = u_C(0_-).

При нулевых начальных условиях (i_L(0_-) = 0, u_C(0_-) = 0) индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а ёмкость – короткому замыканию. В случае ненулевых начальных условий (i_L(0_-) ¹ 0, u_C(0_-) ¹ 0) индуктивность в момент t = 0₊ равносильна источнику тока, а ёмкость – источнику ЭДС.

В зависимости от порядка дифуравнений различают цепи первого, второго и более высокого порядка.

Сущность классического метода анализа ПП показана на примере зада-чи 7.1. Однако применен нерациональный порядок расчёта. Рекомендуется следующий порядок расчёта ПП:

1. Анализом цепи до коммутации определение независимых начальных условий.

2. Запись искомых электрических величин (токов и напряжений) в виде суммы двух составляющих – принуждённой и свободной.

3. Расчёт принуждённых составляющих.

4. Вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому тем или иным способом составляется и решается характеристическое уравнение.

5. Запись свободных составляющих с учётом вида корней.

6. Определение тем или иным способом необходимых начальных условий.

7. Нахождение постоянных интегрирования из начальных условий.

8. Запись искомых величин в окончательной форме.

ЗАДАЧА 7.1. В схеме рис. 7.1 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 100 В, r₁ = 60 Ом, r₂ = 40 Ом, С = 10 мкФ. Построить график напряже-ния на конденсаторе.

Решение

В послекоммутационном режиме цепь описывается следующей системой уравнений по законам Кирхгофа относительно мгновенных значений токов и напряжения на

конденсаторе: i₁ – i₂ – i_C = 0,
i₁×r₁ + u_C = U,

i₂×r₂ – u_C = 0.

Дополнительное уравнение – уравнение связи между током и напряже-

нием конденсатора: i_C = С .

Систему уравнений решаем способом подстановки – все токи выража-ем через напряжение на конденсаторе и подставляем в первое уравнение сис-темы. В результате система уравнений сводится к одному линейному неодно-родному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами. В скобках отметим, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае есть только один накопитель – конденсатор, поэтому и уравнение оказалось первого порядка.

i₁ = ; i₂ = ; i_C = С ; – – С = 0.

+ u_C = .

Решение уравнения u_С(t) находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Отметим, что в курсе ТОЭ они называются, соответственно, принуждённой (или установившейся) и свободной составляющими: u_С(t) = u_Cпр(t) + u_Cсв(t). Такой метод расчёта переходных процессов называется классическим. Вид принуждённой составляющей определяется видом правой части уравнения, то есть характером источника. В данном случае, поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе также будет постоянной, а = 0:

u_Cпр = × = ×U = ×100 = 40 В.

Вид свободной составляющей зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому составим и решим характеристическое уравнение. При составлении его по имеющемуся дифференциальному уравнению производная от u_C заменяется на р, сама величина u_C – на 1, правая часть принимается равной нулю:

р + = 0.

Решение уравнения:
р = - = - = -4167 с ^–1.

При одном, обязательно отрицательном, корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: u_Cсв(t) = А×е ^рt. Постоянную интегрирования А находим, используя начальные условия. Напряжение на конденсаторе до коммутации: u_C(0_-) = U = 100 В. Согласно второму закону коммутации, u_C(0₊) = u_C(0_-) =100 В. Таким образом, постоянная интегрирова-ния А = u_Cсв(0) = u_C(0) – u_Cпр(0) = 100 – 40 = 60 В.

Окончательно получаем: u_C(t) =40 + 60×е ^-4167t В.

Токи в ветвях: i₁(t) = = = 1 – 1×е ^-4167t А,

i₂(t) = = = 1 + 1,5×е ^-4167t А,

i_C(t) = i₁(t) – i₂(t) = -2,5×е ^-4167t А.

Для построения графика u_C(t) дополнительно вычислим:

- постоянная времени цепи t = 1/|p| = 1/4167 c = 0,24 мс,

-

t

uCпр(t)

uC(t)

B

u

0,2

мc

0,4

0,6

0,8

uCсв(t)

Рис.7.2

практическая длительность переходного процесса

Т_пп = (3¸5)t = 4×t = 0,96 мс.

График u_C(t) строим по составляющим: отдельно показываем принуждённую и свободную составляющие, а затем их графически суммируем. График представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.3

i

rк

U

L

uL

хL = 0

Рис. 7.4

iпр

rк

U

Задача 7.2. Рассчитать ток катушки и напряжение на индуктивности (рис. 7.3), если

u = 200 В, r_к = 10 Ом, L = 25 мГн.

Построить графики i(t) и u_L(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие: i(0₊) = i(0_-) = 0.

2. Расчёт принуждённого режима по схеме рис. 7.4:

i_пр = 20 А; u_Lпр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень: r_к + рL = 0, р = -400 с ^–1.

4. Свободные составляющие: i_св = Ае^pt; u_Lсв = Bе^pt.

5. Начальные условия:
i_св(0₊) = i(0₊) – i_пр = -20 А;

u_Lсв(0₊) = u_L(0₊) = u – r_кi(0₊) = 200 B.

6. Постоянные интегрирования
А = i_св(0₊) = -20; B = u_Lсв(0₊) = 200.

7. Полные величины: I
(t) = 20 – 20е ^-400t А; u_L(t) = 200е ^-400t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = = 2,5·10 ^-3 с; Т_ПП = 4·t = 0,01 с.

Графики i(t), u_L(t) на рис. 7.5.

rд

Рис. 7.6

i

rк

U

L

uк

-20

-10

А

t

t

В

uL

2,5

7,5

мс

а)

2,5

7,5

мс

б)

i

iпр

iсв

i(t)

Рис. 7.5

Задача7.3. Определить ток и напряжение катушки при переключении её на добавочное сопротивление r_д (рис. 7.6), если u = 200 В, r_к = 10 Ом, L = 25 мГн, r_д = 40 Ом.

Построить графики i(t), u_к(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие:

i(0₊) = i(0_-) = = 20 А.

2. Принуждённые составляющие:
i_пр = 0; u_кпр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

рL + (r_д + r_к) = 0, р = -2000 с ^–1.

4. Свободные составляющие:
I_св = Ае^pt; u_ксв = Bе^pt.

5. Начальные условия:
i_св(0₊) = i(0₊) – i_пр = 20 А;

u_L(0₊) = -i(0₊)·(r_д + r_к) = -1000 В и
u_ксв(0₊) = u_к(0₊) = r_кi(0₊) + u_L(0₊)= -800 В.

6. Постоянные интегрирования
А = i_св(0₊) = 20; B = u_ксв(0₊) = -800.

7. Полные величины:
I(t) = 20е ^-2000t А; u_к(t) = -800е ^-2000t B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,5·10 ^-3 с = 0,5 мс; Т_ПП = 2 мс.

А

t

-200

t

В

uк

мс

а)

мс

i

0,5

1,5

-400

-600

-800

Рис. 7.7

0,5

1,5

б)

Графики i(t), u_L(t) на рис. 7.7.

-2

i

А

i(t)

iсв

iпр

с

t

б)

Рис. 7.8

а)

i

u(t)

r

L

0,01

0,02

Iуд

ЗАДАЧА 7.4. На рис. 7.8,а представлена схема для расчёта переходного процесса при включении трансформатора в режиме холостого хода. Причём u(t) = 100×sin(314t +Y_u) В, r = 20 Ом, L = 0,159 Гн. Рассчи-тать Y_u для получения самого «тяжёлого» и «лёгкого» включения. Построить график тока «тяжёлого» включения. Определить величину ударного тока.

Решение

1. Независимое начальное условие нулевое – i(0₊) = i(0_-) = 0.

2. Расчёт тока выполним классическим методом. Принуждённая составляющая имеет вид: i_пр(t) = i_m×sin(314t +Y_i) = ×sin(314t + Y_u – j).

Здесь
Z= = = = 53,9 Ом,

j = arctg = arctg = 68,1°,
I_m = = = 1,86 A.

Таким образом,
I_пр(t) = 1,86×sin(314t +Y _u – 68,1°) A.

Начальное значение принуждённой составляющей тока

i_пр(0) = 1,86×sin(Y_u – 68,1°) A.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

pL + r = 0, p = -r/L = 20/0,159 = -125,8 c ^–1.

Постоянная времени цепи и практическая длительность переходного процесса:
t = 1/|p| =1/125,8 = 0,008 c, T_пп = (3¸5)t = (24¸40) мс.

Период колебаний принуждённой составляющей T = = 20 мс.

4. При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: i_св(t) = А×е ^рt.

Значение постоянной интегрирования

А = i_св(0) = i(0) – i_пр(0) = -1,86×sin(Y_u – 68,1°).

5. Самый «тяжёлый» переходный процесс (наибольшее значение сво-бодной составляющей) получится при Y_u – 68,1° = ±90°. То есть Y_u = 158,1° или Y_u = -21,9°.

Самый «лёгкий» (свободная составляющая отсутствует) – при

Y_u – 68,1° = 0° или ±180°. То есть Y_u = 68,1° или Y_u = -111,9°.

Если Y_u – 68,1° = 90°, то Y_u = 158,1°. Мгновенное значение переходно-го тока в этом случае записывается как

i(t) = i_пр(t) + i_св(t) = 1,86×sin(314t + 90°) – 1,86×е ^-125,8t А.

6. График тока и его составляющих представлен на рис. 7.8,б.

7. Ударным током называется максимальное значение переходного тока.

Как видно из графика, наибольшего по величине значения i_уд = 2,4 А ток достигает в момент времени t = 9,7 мс.

i

rк

u

L

Рис.7.9

-4

-8

А

t

мс

i

iпр

iсв

i(t)

4,5

Рис. 7.10

Задача7.5. Рассчитать ток переходного процесса при включении катушки на синусоидальное напряжение

u(t) = U_m·sin(wt + y_u) (рис. 7.9), если

u_m = 200 В, w = 1000 рад/с, y_u = -30°, r_к = 10 Ом, L = 25 мГн.

Построить график i(t).

Ответ: i(t) = 7,43sin(1000t – 98,2°) + 7,35е ^-400t A;

график i(t) на рис. 7.10.

Рис.7.11

i

r

U

С

uС

Задача7.9. Рассчитать токи переходного процесса и напряжение на индуктивности в схеме рис. 7.18,
если

E = 150 В, r₁= r₂= 10 Ом, r₃= r₄= 5 Ом, L = 20 мГн.

Построить графики i₂(t), u_L(t).

r1

i3

r3

i2

i1

r1

E

Рис. 7.18

r2

L

r4

uL

i3(0-)

r3

i2(0-)

i1(0-)

E

Рис. 7.19

r2

хL=0

i3

i2

i1

r1

E

Рис. 7.20

r2

L

r4

uL

r3

Решение

1. Анализом схемы до коммутации определим независимое начальное условие, которым здесь является ток в индуктивности – i₂(0_-).

Схема до коммутации имеет вид рис. 7.19. Ток в индуктивности

i₂(0_-)= · = · =3,75 А.

Согласно первому закону коммутации имеем i₂(0₊) = i₂(0_-) = 3,75 А.

i₁(t) = i₂(t) + i₃(t),

r₁i₁ + r₂i₂ + L = E,

r₁i₁ + (r₃ + r₄)·i₃ = E,

2. Схема после коммутации имеет вид рис. 7.20 и описывается системой линейных дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа решение которой будем искать в виде
i_q(t) = i_qпр(t)+i_qсв(t); u_L(t) = u_Lпр(t)+u_Lсв(t).

3. Принуждённый режим:

i_1пр = = = 10 А;

i_2пр = i_1пр· = 10· = 5 А;

i_3пр = i_1пр – i_2пр = 10 – 5 = 5 А, u_Lпр = 0.

4. Свободный режим.

Составим характеристическое уравнение путём записи входного сопротивления в операторной форме (2-й способ): + r₁ = 0.

uab(0+)

b

a

i3(0+)

r3

i1(0+)

r1

E

Рис. 7.22

r2

r4

i2(0+)

Z(p)

r1

Рис. 7.21

r2

r4

r3

pL

Но можно составить характеристическое уравнение и относительно ветви с накопителем, при этом источник заменяется его внутренним сопротивлением (рис. 7.21). Тогда вид уравнения будет проще:

+ r₂ + pL = 0;
+ 10 + 20·10 ^-3·p = 0; p = -750 c ^-1.

Тогда i_1св = А₁е^pt = А₁е ^-750t;
i_2св = А₂е ^-750t; i_3св = А₃е ^-750t; u_Lсв = Bе ^-750t.

Постоянные интегрирования определим при t = 0₊.

I способ решения

Схема после коммутации для t = 0₊ имеет вид рис. 7.22.

|

По методу двух узлов

u_ab(0₊) = = = 56,25 B.

Токи в момент коммутации

i₁(0₊) = = = 9,375 А,

i₃(0₊) = = = 5,625 А или i₃(0₊) = i₁(0₊) – i₂(0₊) = 5,625 А,

u_L(0₊) = u_ab(0₊) – r₂i₂(0₊) = 56,25 – 10·3,75 = 18,75 B.

Запишем свободные составляющие при t = 0₊:

i_1св(0₊) = А₁ = i₁(0₊) – i_1пр = 9,375 – 10 = -0,625 А,

i_2св(0₊) = А₂ = i₂(0₊) – i_2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i_3св(0₊) = А₃ = i₃(0₊) – i_3пр = 5,625 – 5 = 0,625 А,

u_Lсв(0₊) = B = u_L(0₊) – u_Lпр = 18,75 – 0 = 18,75 B.

Итак: i_1св(t) = -0,625е ^-750t А,

i₁(t) = 10 – 0,625е ^-750t А,

i_2св(t) = -1,25е ^-750t А,

i₂(t) = 5 – 1,25е ^-750t А,

i_3св(t) = 0,625е ^-750t А,

i₃(t) = 5 + 0,625е ^-750t А,

u_L(t) = u_Lсв(t) = 18,75е ^-750t B.

II способ решения

Постоянную интегрирования А₂ можно определить сразу, так как ток

i₂ подчиняется первому закону коммутации:

А₂ = i₂(0₊) – i_2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i_2св(t) = А₂е ^-750t = -1,25е ^-750t А,

i₂(t) = i_2пр(t) + i_2св(t) = 5 – 1,25е ^-750t А.

Определим напряжение на индуктивности

u_L(t) = L = 20·10 ^-3·(-1,25)(-750)е ^-750t = 18,75е ^-750t B.

Узловое напряжение

u_ab(t) = r₂i₂(t) + u_L(t) = 10·(5 – 1,25е ^-750t) + 18,75е ^-750t = 50 + 6,25е ^-750t B.

Токи i₃(t) = = = 5 + 0,625е ^-750t А,

i₁(t) = i₂(t) + i₃(t) = 5 – 1,25е ^-750t + 5 + 0,625е ^-750t = 10 – 0,625е ^-750t А.

5. Построим графики i₂(t) и u_L(t). Длительность переходного процесса

Т_ПП = 4t = = с = 5,33 мс.

Результаты расчётов представим в виде табл. 7.2.

Таблица 7.2

-2

t

2t

3t

4t

А

t

t

В

uL

а)

б)

i2

i2пр

Рис. 7.23

t

2t

3t

4t

i2св

i2(t)

Графики представлены на рис. 7.23.

Z(p)

б)

а)

i3

uC

i2

i1

С

r2

U

Рис. 7.24

r1

r3

r2

r1

r3

ЗАДАЧА 7.10. В схеме рис. 7.24,а рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи: U = 50 В, r₁ = r₃ = 100 Ом, r₂ = 50 Ом, С = 100 мкФ.

Решение

1. Состояние цепи до коммутации: i₁(t_-) = i₂(t_-) = 0, u_C(t_-) = U = 50 В. В соответствии со вторым законом коммутации независимое начальное усло-

вие – u_C(0₊) = u_C(0_-) = 50 В.

2. Согласно классическому методу искомые переходные токи записываются в виде суммы принуждённых и свободных составляющих:

i₁ = i_1пр + i_1св, i₂ = i_2пр + i_2св, i₃ = i_3пр + i_3св.

3. Рассчитываем принуждённые составляющие токов:

i_2пр = 0; i_1пр = i_3пр = = = 0,25 А.

3. Характеристическое уравнение составим, используя входное сопротивление в операторной форме (см. 7.1.1, второй способ составления характеристического уравнения): Z(p) = + r₂ + = 0.

Корень характеристического уравнения:

p = - = - = -100 с ^–1.

4. Свободные составляющие токов при одном корне характеристиче-ского уравнения: i_1св = А×е ^рt, i_2св = В×е ^рt, i_3св = D×е ^рt.

5. Постоянные интегрирования А, В, D находятся с использованием начальных условий, которые, однако, можно получить разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

а) первый способ. Составляется система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного режима для начального момента времени:

i₁(0) – i₂(0) – i₃(0) = 0,

i₁(0)×r₁ + i₂(0)×r₂ + u_C(0) = U,

i₁(0)×r₁ + i₃(0)×r₃ = U.

С числовыми значениями:

i₁(0) – i₂(0) – i₃(0) = 0,

i₁(0)×100 + i₂(0)×50 + 50= 50,

i₁(0)×100 + i₃(0)×100 = 50.

Решение системы: i₁(0) = 0,125 А, i₂(0) = -0,25 А, i₃(0) = 0,375 А.

Постоянные интегрирования:

А = i_1св(0) = i₁(0) – i_1пр = 0,125 – 0,25 = -0,125;

В = i_2св(0) = i₂(0) – i_2пр = -0,25 – 0 = -0,25;

D = i_3св(0) = i₃(0) – i_3пр = 0,375 – 0,25 = 0,125.

б) второй способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме, составленной на начальный момент времени. Здесь используется следствие из законов коммутации: индуктивность в момент коммутации ведёт себя как источник тока с током i_L(0), ёмкость – как источник ЭДС с напряжением u_C(0). Для начального момента времени, таким образом, получаем схему рис. 7.25,а. Учитывая, что в цепи оказались два одинаковых источника u_C(0) = U, можем утверждать, что потенциалы точек а и b одинаковы, и точки можно соединить перемычкой. Получаем схему рис. 7.25,б, из которой находим начальные значения токов: i₃(0) = = = 0,375 А,

i₁(0) = i₃(0)× = 0,375× = 0,125 А,

i₂(0) = i₁(0) – i₃(0) = 0,125 – 0,375 = -0,25 А.

Далее постоянные интегрирования определяются как в первом способе.

r2

i3св(0)= =D

r2

в)

i3(0)

i2(0)

i3(0)

i2(0)

r2

b

а

r1

i1(0)

U

Рис. 7.25

б)

а)

uC(0)

r3

U

r1

i1(0)

r3

r1

i1св(0)=А

uCсв(0)

i2св(0)=В

r3

i1