Модель нелинейной ФП ПМ.

Пусть в общем случае ФП ПМ является теоретически нелинейной.

Напомним, что при конструировании механизма часто применяют более простую схему, приближенно воспроизводящую заданный (требуемый) закон движения – при этом возникает теоретическая нелинейность - погрешность схемы D_CX.

1)Требуемая Номинальная ФП – линейная функция в диапазоне преобразования Dх по входу (и Dу по выходу).

2) Номинальная Чувствительность

k = dy/dx = Dy/Dx = Dy/Dx –

постоянная по всему диапазону.

3) Функция преобразования (ФП) теоретического заменяющего механизма f _теор. – нелинейная, имеет точку перегиба.

Такие f _теор_.характерны для рычажных ПМ.

Выражения для f _теор_.содержат тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Аналитические исследования таких ФП весьма громоздкие и сложные. (Компьютерные методы значительно упростили проблему.)

Введем простое и универсальное описание нелинейной теоретической функции преобразовании механизма, которая является типичной для целого класса механизмов.

Dх и Dy диапазоны перемещения входного и выходного звеньев.

Известно, что функция у=f_теор(x) может быть представлена в виде разложения в точке в ряда Тейлора (степенного ряда). Такое разложение ФП _теор. в точке перегиба имеет вид:

Перенесем начало новой системы координат в точку ( , )- середина диапазона и точка перегиба ФП. Переход к новой С.К. :

Тогда получим

Здесь надо отметить следующее:

· первое слагаемое ряда – линейная составляющая f_теор(x)- прямая касательная к f_теор(x) в точке перегиба;

· остальные члены ряда – характеризуют отклонение ФП от линейной функции – 2-го ,3, 4, 5, и т.д. порядков

· чем выше порядок производной, тем меньше значимость члена ряда ;

· если ФП _теорнечетная функцияс точкой перегиба в середине исследуемого диапазона Дх,то производные четных степеней (2-й,4,6,…) тождественно равны нулю:

·

Т.о., отбросив все члены ряда, кроме первых двух, получим выражение для модели ФП_теор:

Обозначим коэф-ты при х как параметр чувствительности ζ и параметр нелинейности ξфункции преобразования:

-(дзета)

-(кси)

Модель теоретической ФП:

Схемные Параметры z и x вычисляются как производные от ФП и поэтому зависят от одних и тех же параметров (размеров звеньев) ПМ, а значит, зависят друг от друга:

z = Y₁(x) и x = Y₂(z).

3.2. Задача синтеза ПМ по критерию минимума погрешности схемы D_CX .

Формулировка задачи: Требуется спроектировать передаточный механизм, который в некотором заданном диапазоне Dx, обладал бы чувствительностью k, а расхождение между требуемой (номинальной) функцией преобразования и расчетной (теоретической нелинейной) функцией преобразования, было бы минимальным и не превышало бы некоторого заданного допустимого значения .

Графическая интерпретация задачи на рисунке – необходимо вписать f_Теор в поле допуска, определенного границами ± [D] вокруг f _Ном, так чтобы уклонениеf_Теор от f _Ном было бы минимальным.

Решение этой задачи синтеза проводят в два этапа :

1.выбираем схему теоретического заменяющего механизма, обеспечивающего преобразование движений в требуемом диапазоне Dx (и Dy) и функция преобразования которого не выходит за границы ± [D]. (это структурный синтез ПМ – выбор схемы механизма).

2. определяем (вычисляем) схемные параметры ПМ z, x а, следовательно, и размеры звеньев ПМ, обеспечивающие наилучшее приближение теоретической ФП к номинальной ФП. (этап оптимизации параметров ПМ по заданному критерию)…