Нелинейная парная регрессия
Если между результативным и факторным признаком существует нелинейная зависимость, то она выражается с помощью соответствующих нелинейных функций.
Для описания нелинейной связи между и используют следующие виды функций:
1) параболическая ;
2) кубическая парабола ;
4) гиперболическая ;
5) логарифмическая ;
6) степенная ;
7) показательная ;
8) экспоненциальная ;
9) логистическая
и некоторые другие.
Здесь – неизвестные параметры (коэффициенты регрессии), подлежащие определению. Необходимо подобрать значения этих параметров, обеспечивающие наилучшее приближение теоретической функцией эмпирических данных.
Различают 2 класса нелинейных регрессионных моделей:
1) регрессии, нелинейные относительно переменных, но линейные по параметрам (полиномы разных степеней, гипербола и др.);
2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная и др.).
Если коэффициенты регрессии входят в регрессионную модель линейно, то метод наименьших квадратов приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. В противном случае – к нелинейной системе уравнений.
Так в случае выбора теоретической функции в виде полинома k–й степени (функция линейна относительно параметров), исходя из критерия метода наименьших квадратов
(вычисляя и приравнивая нулю частные производные , ), получим линейную систему уравнений
Решая эту систему, найдем неизвестные параметры .
В случае параболической регрессионной модели коэффициенты регрессии определяются из системы линейных уравнений
Если в качестве теоретической функции выбрана гиперболическая функция, то параметры регрессии определяются из линейной системы
Если модель нелинейна относительно параметров регрессии, то она в ряде случаев с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.
Если же модель не может быть приведена к линейному виду, то для оценки параметров в этом случае приходиться решать системы нелинейных уравнений, используя итерационные методы. В этом случае успех в нахождении параметров регрессии зависит от сложности полученной системы.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 93;