Число соударений между молекулами и средняя длина свободного пробега молекул

Идеальный газ во внешнем поле

Если идеальный газ находится в силовом поле, то давление будет меняться от точки к точке, так как на молекулы газа действуют внешние силы. Рассмотрим наиболее простой случай, когда силы поля направлены в одну сторону, допустим вдоль оси Х.

Возьмем две площадки единичной площади, расположенных на расстоянии dx; на эти площадки будет оказываться давление, которое равно соответственно Р и Р + dР (рис.9.1).

Рис.9.1

Разность давлений dP равняется суммарной силе, действующей на частицы в объеме Sdx (S =1 м³), т.е.

dP = nFdx (9.1)

где, n – объемная плотность молекул;

F – сила, действующая на одну молекулу с координатой х.

Сила F связана с потенциальной энергией Е_п

(9.2)

После подстановки (9.2) в (9.1) получим

(9.3)

Для идеального газа Р = nkТ. Предполагая, что Τ = соnst

(9.4)

Проинтегрировав обе части равенства (9.4) получаем

(9.5)

учитывая, что n₀ – объемная плотность молекул в точке где Е_n = 0, получим

(9.6)

Полученная формула устанавливает связь изменения объемной плотности газа с потенциальной энергией его молекул и называется формулой Больцмана.

Если (9.6) умножить на kТ, получим уравнение для расчета давления

(9.7)

В поле тяжести Земли на высоте h молекула массой m₀ обладает потенциальной энергией Е_п= m₀gh

(9.8)

Уравнение (9.8) называется барометрической формулой.

Подставив вместо и m₀Na = M, получим для барометрической формулы:

(9.9)

График зависимости давления газаот высоты Р( h) представлен на рис.9.2.

Рис.9.2

Чем больше молекулярная масса, тем быстрее давление убывает с высотой. Поэтому с увеличением высоты атмосфера обогащается легкими парами.

Число соударений между молекулами и средняя длина свободного пробега молекул

В результате хаотического движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Вычислим число соударений между молекулами для идеального газа. Для этого будем рассматривать молекулы, как упругие шарики диаметром d, которые движутся со средней скоростью <u>. За единицу времени молекула на своем пути заденет другие молекулы, которые находятся в цилиндре диаметром 2d т.е. в объеме πd²<u> (рис.9.3).

Соответственно количество столкновений Z равно

(9.10)

где, n – количество молекул в единице объема, концентрация молекул.

Рис.9.3

Если учесть, что все молекулы движутся, то число соударений увеличивается в

(9.11)

Надо отметить, что молекулы при каждом столкновении изменяет свое направление и движется не в таком прямом цилиндре, а в системе соединенных под разными углами цилиндров.

Среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями называется средней длиной свободного пробега < λ >

(9.12)