Момент инерции цилиндра относительно его осей
Пусть радиус цилиндра равен R, а его масса М, высота Н. Построим цилиндрическую трубку радиуса r высотой Н толщиной dr и
Рис. 2.10 |
(рис.2.10 а).
За элемент массы dm возьмем массу этой трубки. Объем трубки равен (рис. 2.10, б), а ее масса , - плотность. Объем всего цилиндра . Следовательно,
.
Тогда
. (2.20)
Пример. Физический маятник, изображенный на рис. 2.11, состоит из тонкого однородного стержня длиной L и массой и круглого однородного диска радиусом R и массой . Определить момент инерции маятника, относительно оси его вращения Оz (ось Оz направлена перпендикулярно к плоскости рисунка).
Рис. 2.11 |
Решение. Маятник состоит из двух тел: стержня (1) и диска (2).
Поэтому
,
где и - моменты инерции относительно оси Оz соответствующих тел.
Момент инерции стержня
,
а момент инерции диска найдем по формуле (2.12):
.
Здесь JZC - момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр C, параллельной оси Оz, а - расстояние от центра диска до оси Оz.
Вычислим момент инерции маятника:
.
Перечислим свойства момента инерции плоской фигуры относительно оси z, направленной перпендикулярно к плоскости фигуры (плоскости xoy).
· Момент инерции равен
,
где r - плотность; А - площадь плоской фигуры.
· Если тело состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой составной части известен относительно одной оси z, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей:
.
· равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс:
.
· Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к плоской фигуры, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью:
Обычно моменты инерции твердых тел вычисляются интегрированием сравнительно легко только в том случае, когда эти тела однородные и имеют правильную геометрическую форму. В случае же неоднородных тел и тел, имеющих сложные очертания, моменты инерции надежнее и проще определять экспериментально с помощью соответствующих приборов. Один из таких методов рассмотрен в лекции 3.
Моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих постоянную плотность ρ, см. в таблице.
Таблица
Фигура | Ось z | ρ | |
Тонкий стержень длиной L (рис.2.7) | Проходит через центр С, перпендикулярно стержню | . | |
Прямоугольник со сторонами L и H (рис.2.8) | Проходит через центр параллельно стороне H | . | |
Прямоугольник со сторонами L и H (рис.2.8) | Проходит через центр, перпендикулярно к плоскости | ||
Диск радиуса R (рис.2.9) | Проходит через центр, перпендикулярно плоскости | . | |
Круговой цилиндр радиусом R, длиной H (рис.2.10) | Проходит через центр параллельно H | . | |
Круговой цилиндр радиусом R, длиной H (рис.2.10) | Проходит через центр перпендикулярно H |
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 420;