Соотношение между напряжениями и деформациями

Физические основы деформирования и разрушения твердых тел.

Давление, напряжение и деформации.

Взаимодействие в твердых телах приводит к образованию кристаллических решеток. Расположение узлов кристаллических решеток различно в разных направлениях. Поэтому любое усилие извне приводит к изменению расстояния между частицами, зависящее от направления действия силы и положения плоскости, в которой расположены узлы решетки.

Силовое воздействие на твердое тело вызывает изменение взаимного расположения частиц, что может характеризоваться изменением объема среды и его формы. До тех пор, пока не происходят необратимые нарушения в среде, после снятия нагрузки частицы возвращаются в исходное состояние.

В газообразных и жидких средах ближнее взаимодействие между частицами нарушается настолько, что кристаллическая структура утрачивается. В этом случае результат силового воздействия на среду не зависит от направления приложения сил.

В таких средах силовое взаимодействие между частицами определяет величину давления.

Давление есть сила, действующая на единичную площадку со стороны выделенного в среде объема. Эта сила не зависит от направления и является скалярной величиной.

Напряжения

Под напряжением понимается внутренняя сила действующая на единицу площади, имеющей определенную пространственную ориентацию (рис.1)

при

Сила величина векторная имеет три компоненты, например F_x,F_y,F_z.

Ориентация площадки определяется направлением единичного вектора .

Пусть на стержень действует растягивающая сила . Очевидно, что величина напряжения зависит от направления силы по отношению к плоскости. Поэтому для задания напряжения необходимо знать не только величину, линию действия и направление силы, но также и положение в пространстве площадки, на которую она действует. Поэтому напряжение является тензором – для его определения нужно знать вектор силы и вектор, характеризующий положение площадки.

В прямоугольной системе координат сила полностью определяется ее компонентами вдоль трех осей F_x,F_y,F_z. Кроме того, необходимо ввести индекс, соответствующий направлению нормали к плоскости площадки.

Напряжение в сечении, проходящем через некоторую точку, можно разложить на две составляющие – нормальное, перпендикулярное к сечению, и касательное, в плоскости сечения. Направление нормальной составляющей является вполне определенным, здесь достаточно одного индекса, обозначающего направление нормали к площадке.

Касательную составляющую можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям.

Таким образом, тензор напряжения имеет 9 составляющих (Рис. 2) – 3 нормальных по отношению к координатным плоскостям и 6 касательных и является тензором напряжений второго ранга. Он записывается в виде:

Рис.2 Компоненты напряжений

Поскольку выделенные участки тела находятся в равновесии, то две составляющие тензора напряжений направленные к одной и той же грани должны быть равны друг другу:

, ,

Таким образом, тензор напряжений является симметричным.

Напряженное состояние тела полностью определено, если известны значения шести компонентов напряжений в каждой точке. Зная компоненты в точке тела, можно вычислить напряжения в любой площадке проходящей через эту точку перпендикулярно к плоскости xy и наклоненной к осям x и y. Наиболее просто нахождение новых компонентов напряжений может быть рассмотрено для плоского напряженного состояния. В этом случае

Для площадки, нормаль к которой составляет угол с осью x может ?? быть новая координатная система с осями , . Ось направлена нормали к площадке (рис. 3).

В новой системе координат компоненты напряжений составят , определяемые соотношением:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Таким образом, величины , , меняются в зависимости от угла . При определенных значениях величины , могут достигать минимума или максимума. При минимальном значении величина будет максимальной. Экстремальные значения , определяются условиями

Дифференцируя выражения (2) и (3) получим:

(1.5)

откуда (1.6)

Так как , то уравнения (6) дает два взаимных перпендикулярных направления. В одном из них величина

Рис.3 Напряжения в разных системах координат

Из выражений (2) и (3) следует, что . Такое же равенство суммы всех компонентов напряжений справедливо и для более общего трехмерного напряженного состояния:

где - первый инвариант напряжений.

Величину , называют средним нормальным и гидростатическим давлением.

Направления координатных осей, для которых две компоненты нормальных напряжений экстремальны, а касательные напряжения равны нулю, называется главными и обозначаются при этом Касательные напряжения максимальны в направлениях, которые делят пополам углы между главными осями. Их связь с главными нормальными напряжениями и между собой выражается соотношением:

Максимальные значения имеет величина . Если в качестве главных направлений для плоского напряженного состояния приняты оси x и y, то для площадки, нормаль к которой расположена под углом к оси x, компоненты напряжений в соответствии с формулами (2) и (3) определяется соотношением:

(1.7)

Соотношения (17) могут быть представлены в виде:

(1.8)

Зависимость и от угла можно изобразить с помощью графика, известного под названием круга Мора. Круг Мора строится следующим образом: на горизонтальной оси из произвольной точки O откладываются отрезки OA и OB, пропорциональные соответственно напряжениям и с учетом их знака (рис.4). На рис.4 оба напряжения приняты положительными, т.е. растягивающими. Из точки C, делящий отрезок AB пополам, как из центра, описывается окружность радиусом CA=CB. Полученная окружность и является кругом Мора. В общем случае главные напряжения не являются главными, а известны компоненты , . Тогда на горизонтальной оси откладываются отрезки OF` и OF, соответствующие в выбранном масштабе напряжений и . В точке F` восстанавливается перпендикуляр к OF и на расстоянии, пропорциональном , откладывается точка D`. Величина CD` равна радиусу круга Мора с центром в точке C. Тогда главные напряжения и определяются при пересечении круга Мора с горизонтальной осью, что соответствует величине угла =0. Угол определяется по графику круга Мора: угол между направлениями OC и CD с вершиной в точке C составляет 2 .

2α

Рис.4 Круг Мора

Деформации.

Под деформацией понимается относительное изменение взаимного положения точек тела. Рассмотрим точку с координатами x, у, z . В результате деформации точка сместится и займет положение с координатами х + u; у + v; z + w. Рассмотрим вначале плоскую деформацию, при которой все частицы, находившихся в плоскости, после деформации останутся в этой же плоскости.

Пусть плоскость деформации z = 0. Тогда w = 0, а u и v не зависят от z.

Различают деформации : продольную и сдвига. Отношение изменений длины к первоначальной длине называется продольной деформацией

где - изменение длины отрезка.

Компоненты изменения длинны отрезка u продольной деформации вдоль осей x и y составляют

(2.1)

Изменение величины первоначального прямого угла называют деформацией сдвига – γ

Определим деформацию сдвига. Рассмотрим искажение первоначального прямого угла. Величина в точке A представляет собой изменение угла между отрезками

2α

AB и AD (рис.5)

Линия A`B` наклонена к AB под малым углом а A`D` наклонена к AD под углом

Прямой угол DAB между отрезками AB и AD изменяется на величину , отсюда

Для трехмерной задачи

- 6 компонентов деформации выражены через 3 компоненты перемещений. Эти уравнения были выведены Коши.

Чистая деформация тела( т.е. деформация при отсутствии вращения тела как единого целого) полностью определяется шестью компонентами деформации т.е. является симметричным тензором деформации.

Если задана деформация в данной точке, то всегда можно найти три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через данную точку, в которых отсутствуют сдвиги. Оси, соответствующие линиям пересечения этих плоскостей, называют главными осями деформации .

Для изотропного тела главные оси деформации совпадают с главными осями напряжений. Направления главных осей не зависят от выбора системы координат. Сумма относительных удлинений в данной точке

называются объемной деформацией, так как при малых перемещениях, изменения объема элемента определяется только удлинениями его ребер, в то время как изменение ?

определяется сдвигами. Тензор деформаций аналогично тензору напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров

где - среднее удлинение,

определяется как

Тензор является шаровым. Деформация, соответствующая этому тензору, состоит в том, что элемент получает одинаковые удлинения по всем направлениям, т.е. является подобным самому себе, изменяя лишь объем

Тензор является девиатором тензора деформации и характеризует формоизменение элемента без изменения объема, т.е. объемное расширение в этом случае равно нулю.