Числовые характеристики дискретного случайного процесса.

Математическое ожидание Мx, дисперсия Dx, среднеквадратическое отклонение σξ и коэффициент корреляции ρ_xh .

Математическое ожидание.

Определение. Математическое ожидание Мx случайной величины x определяется формулой

и фактически есть «её среднее значение». Это легко видеть из Таблиц 1 и 2.

Важно отметить, что Мx — математический оператор.

Задача 3. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения

Mx = -1·1/3 +×1·2/3 = 1/3.

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина x постоянна, т. е. x º С, то её математическое ожидание равно С: М(С) = С.

2. Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kа, т.е.математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число.

3. Если Мx=а, и k и b– константы, то М(kx+b) = kа+b, т.е. математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины.

4. Для любых двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов, справедлива формула: М(x+h) = М(x)+М(h).

5. Если случайные величины x и h независимы, то М(x·h) = Мx×Мh.

Покажем это на примере.

Задача 4.

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

М(x) = 1·1/2+0·1/2 = 1/2,

М(h) = (-2)·1/3+3·2/3 = 4/3. Тогда М(x)·М(h) = 2/3.

Построим закон распределения для случайной величины y = x·h

Упорядочим значения случайной величины по возрастанию

М(y) = М(x·h) = (-2)·1/6+0·3/6+3·2/6 = 2/3.

Среднее значение случайной величины даёт ориентировочное представление о случайной величине, и во многих случаях этого достаточно.

Однако, одного математического ожидания недостаточно. Почему? Вот пример.

М(x) = -0,01·1/2+0,01·1/2 = 0

М(h) = (-100)·1/2+100·1/2 = 0.

Поэтому вводят ещё одну величину, характеризующую колеблемость, как средний квадрат отклонения значения случайной величины от её среднего значения.