Подпоследовательностей

1.Число является пределомпоследовательности

(5.1.)

тогда и только тогда, когда — предел подпоследовательности

. (5.2)

Необходимость.Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности (5.1), то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.1). По условию теоремы только элементов последовательности (5.2) не принадлежит последовательности (5.1). Следовательно, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.2). Теперь из условия 3 теоремы 2.5 следует, что число является пределомпоследовательности (5.2).

Достаточность доказывается аналогично. ■

Замечание.Из утверждения 1 следует, чтопри нахождении предела последовательности можно «отбросить» любое конечное число ее членов. ▲

2.Если предел последовательности равен , то предел любой ее подпоследовательности также равен .

Доказательство. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности , то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число ее членов. Подпоследовательность является частью последовательности , поэтому вне окрестности находится лишь конечное число членов подпоследовательности . Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■

Следствие. Последовательность расходится, если выполняется хотя бы одно из следующих условий.

а) Последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.

б) Последовательность содержит расходящуюся подпоследовательность.

Доказательстволегко получается методом от противного. Если предположить, что последовательность сходится, то сейчас же вступаем в противоречие с утверждением 2. ■

3.Если последовательность есть объединение двух своих подпоследовательностей и , причем , то .

Доказательство.Пусть число . Так как , то из условия 3 теоремы 2.5 вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности . Ввиду и условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .

По условию теоремы . Значит, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности , поэтому условие 3 теоремы 2.5 выполняется. Отсюда вытекает, что . ■

Примеры

5.1. Доказать, что , если .

Решение. Возьмем произвольное число . Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:

.

Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

5.2. Доказать расходимость последовательности :

a) ; б) .

Решение

а)Последовательность содержит неограниченную подпоследовательность , которая расходится. Из второго утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

б) Последовательность содержит подпоследовательность

.

Кроме того,последовательность содержит стационарную подпоследовательность

.

Итак, последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам. Из первого утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

5.3. Найти предел последовательности .

Решение. Последовательность является подпоследовательностью последовательности , так как . Из 3-го утверждения в § 2.5 и следует, что .

5.4. Найти предел последовательности

.

Решение. Данная последовательность является объединением двух подпоследовательностей, состоящих из четных и нечетных членов. Предел каждой из этих подпоследовательностей равен нулю. Из свойства 4 вытекает, что предел последовательности равен нулю.

5.5. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что , если .

Решение. При любом имеем цепочку равносильных утверждений:

.

Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

Замечание. Далее необходимо помнить следующие пределы

, число; ; , если ;

, если ; . ▲

Задачи

5.1. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что :

a) , ; б) , ; в) , .

5.2. Найти предел последовательности

а) ; б) ; в) ; г) , .

5.3. Доказать расходимость последовательности

а) ; б) .

5.4. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-нибудь ее подпоследовательность.

§2.6. Действия со сходящимися последовательностями

Теорема 2.6. Если последовательности и имеют предел, то последовательность имеет предел и

.

Доказательство.Пусть , и произвольное задано. Далее имеем: .

Согласно условию 2 теоремы 2.5 неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех . Обозначим через . Тогда при всех неравенство

справедливо. Отсюда и из замечания к теореме 2.5 следует, что . ■

Пример

. ●

6.2. Найти предел последовательности .

Решение. По теореме 2.6 имеем:

.●

Теорема 2.7.Если последовательности и имеют предел, то последовательность имеет предел и

.

Доказательство. Пусть , и произвольное задано. Так как последовательность имеет предел, то она ограничена, поэтому при любом . Далее имеем:

.

Согласно теореме 2.5 неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех . Если , то при всех имеем:

.

Из замечания к теореме 2.5 следует, что . ■

Следствие1.Если последовательность имеет предел и — число, то последовательность имеет предел и .

Доказательство. Последовательность , где — стационарная последовательность. Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы 2.7. ■

Следствие 2. Если последовательность имеет предел, то

.

Доказательство. Имеем следующую цепочку равенств: .■

Теорема 2.8. Если последовательность имеет предел, равный , то .

Доказательство.Используя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:

. ■

Замечание 1. При вычислении предела суммы, произведения или частного двух последовательностей очень часто нельзя сразу применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9, потому что слагаемые, сомножители или числитель и знаменатель дроби, не имеют предела. В этом случае надо так тождественными преобразованиями изменить сумму, произведение или частное, чтобы получилось выражение, к которому уже можно было бы применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9. ▲

Замечание 2. .

Так как предел последовательности равен , и