Подпоследовательностей
1.Число 
является пределомпоследовательности
(5.1.)
тогда и только тогда, когда — предел подпоследовательности
. (5.2)
Необходимость.Пусть 
— произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности (5.1), то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.1). По условию теоремы только 
элементов последовательности (5.2) не принадлежит последовательности (5.1). Следовательно, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.2). Теперь из условия 3 теоремы 2.5 следует, что число является пределомпоследовательности (5.2).
Достаточность доказывается аналогично. ■
Замечание.Из утверждения 1 следует, чтопри нахождении предела последовательности можно «отбросить» любое конечное число ее членов. ▲
2.Если предел последовательности 
равен , то предел любой ее подпоследовательности 
также равен .
Доказательство. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности , то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число ее членов. Подпоследовательность является частью последовательности , поэтому вне окрестности находится лишь конечное число членов подпоследовательности . Теперь из теоремы 2.5 следует, что 
. ■
Следствие. Последовательность расходится, если выполняется хотя бы одно из следующих условий.
а) Последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.
б) Последовательность содержит расходящуюся подпоследовательность.
Доказательстволегко получается методом от противного. Если предположить, что последовательность сходится, то сейчас же вступаем в противоречие с утверждением 2. ■
3.Если последовательность есть объединение двух своих подпоследовательностей 
и 
, причем 
, то 
.
Доказательство.Пусть число 
. Так как 
, то из условия 3 теоремы 2.5 вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности . Ввиду 
и условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .
По условию теоремы 
. Значит, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности , поэтому условие 3 теоремы 2.5 выполняется. Отсюда вытекает, что . ■
Примеры
5.1. Доказать, что 
, если 
.
Решение. Возьмем произвольное число 
. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:
.
Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .
5.2. Доказать расходимость последовательности :
a) 
; б) 
.
Решение
а)Последовательность содержит неограниченную подпоследовательность 
, которая расходится. Из второго утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.
б) Последовательность содержит подпоследовательность
.
Кроме того,последовательность содержит стационарную подпоследовательность
.
Итак, последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам. Из первого утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.
5.3. Найти предел последовательности 
.
Решение. Последовательность 
является подпоследовательностью последовательности 
, так как 
. Из 3-го утверждения в § 2.5 и 
следует, что 
.
5.4. Найти предел последовательности
.
Решение. Данная последовательность является объединением двух подпоследовательностей, состоящих из четных и нечетных членов. Предел каждой из этих подпоследовательностей равен нулю. Из свойства 4 вытекает, что предел последовательности равен нулю.
5.5. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что 
, если 
.
Решение. При любом имеем цепочку равносильных утверждений:
.
Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .
Замечание. Далее необходимо помнить следующие пределы
, 
число; 
; 
, если 
;
, если 
; 
. ▲
Задачи
5.1. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что :
a) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
.
5.2. Найти предел последовательности 
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
, 
.
5.3. Доказать расходимость последовательности
а) 
; б) 
.
5.4. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-нибудь ее подпоследовательность.
§2.6. Действия со сходящимися последовательностями
Теорема 2.6. Если последовательности и 
имеют предел, то последовательность 
имеет предел и
.
Доказательство.Пусть 
, 
и произвольное задано. Далее имеем: 
.
Согласно условию 2 теоремы 2.5 неравенство 
справедливо при всех 
, а неравенство 
справедливо при всех 
. Обозначим через 
. Тогда при всех 
неравенство
справедливо. Отсюда и из замечания к теореме 2.5 следует, что 
. ■
Пример
6.1. Найти предел последовательности 
.
Решение. Используя теорему 2.6, имеем:
. ●
6.2. Найти предел последовательности 
.
Решение. По теореме 2.6 имеем:
.●
Теорема 2.7.Если последовательности и имеют предел, то последовательность 
имеет предел и
.
Доказательство. Пусть , и произвольное задано. Так как последовательность имеет предел, то она ограничена, поэтому 
при любом 
. Далее имеем:
.
Согласно теореме 2.5 неравенство 
справедливо при всех 
, а неравенство 
справедливо при всех 
. Если 
, то при всех 
имеем:
.
Из замечания к теореме 2.5 следует, что 
. ■
Следствие1.Если последовательность имеет предел и 
— число, то последовательность 
имеет предел и 
.
Доказательство. Последовательность 
, где 
— стационарная последовательность. Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы 2.7. ■
Следствие 2. Если последовательность имеет предел, то
.
Доказательство. Имеем следующую цепочку равенств: 
.■
Теорема 2.8. Если последовательность имеет предел, равный 
, то 
.
Доказательство. 1.Из следствия к теореме 7: если , то 
. Из условия 
и следствия к теореме 5 получаем: 
при всех . Тогда при всех верно 
, где 
.
Теперь имеем цепочку: 
.
Так как по условию 
, то согласно условию 2 теоремы 5 неравенство справедливо при всех 
. Теперь при всех имеем:
.
Из замечания к теореме 2.5 следует, что 
. ■
Теорема 2.9.Если последовательности и имеют предел и 
, то последовательность 
имеет предел и
.
Доказательство.Используя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:
. ■
Замечание 1. При вычислении предела суммы, произведения или частного двух последовательностей очень часто нельзя сразу применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9, потому что слагаемые, сомножители или числитель и знаменатель дроби, не имеют предела. В этом случае надо так тождественными преобразованиями изменить сумму, произведение или частное, чтобы получилось выражение, к которому уже можно было бы применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9. ▲
Замечание 2. 
.
Так как предел последовательности 
равен 
, и
, 
,
то из теоремы 2.10 следует равенство 
.▲
Примеры
6.3. Найти предел последовательности: a) 
, б) 
.
Решение. Применяя теоремы 2.6— 2.9, найдем:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
6.4. Доказать расходимость последовательности 
:
a) 
; б) 
.
Решение
а) Подпоследовательность
.
Отсюда, применяя теоремы 2.6-2.9: 
.
Подпоследовательность
. Отсюда, применяя теоремы 2.6-2.9:
. Две подпоследовательности сходятся к разным пределам. Следовательно, последовательность не имеет предела.
б) Подпоследовательность 
имеет предел:
.
Подпоследовательность 
имеет предел:
.
Две подпоследовательности сходятся к разным пределам. Следовательно, последовательность не имеет предела. ●
Задачи
6.1. Найти предел последовательности :
a) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
;
е) 
, ж) 
, з) 
, и) 
.
6.2. Найти предел последовательности :
а) 
; б) 
; в) 
; г) т.
6.3. Дано, 
. Найти: а) 
; б) 
.
6.4. Доказать расходимость последовательности 
а) 
; б) 
.
6.5. Последовательность 
не имеет предела, если одна из последовательностей имеет предел, а другая последовательность не имеет предела.
§ 2.7.Предельный переход в неравенстве
Теорема 2.10. Справедливы следующие утверждения.
1. Если последовательности имеет предел и для всех 
справедливо неравенство 
, то 
.
2.Если последовательности и имеют предел и для всех справедливо неравенство 
, то 
.
Доказательство. 1.Пусть . Надо доказать, что 
. Предположим, что 
. Тогда из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство 
будет выполняться для всех 
, что противоречит условию теоремы. Случай 
рассматривается аналогично.
2.Из теоремы 2.6 вытекает, что предел последовательности 
существует и ее члены 
. Из 1-го утверждения теоремы 2.9 следует, что 
, поэтому 
, т.е. . ■
Теорема 2.11.(О трех последовательностях). Последовательности , ,и 
удовлетворяют условиям:
1. 
при любом ; 2. 
.
Тогда 
.
Доказательство.Пусть 
— произвольное число. Так как , и 
, то из следствия к теореме 2.5 следует, что 
при всех . Из условий 
, 
и следствия к теореме 2.5 вытекает, что 
при всех 
. Если 
, то при всех справедливо неравенство 
, поэтому при всех справедливо неравенство 
. Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■
§ 2.8. Предел последовательности 
Теорема 2.12. Если предел последовательности равен 
, и члены последовательности 
неотрицательны, то
.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда 
.Возьмем произвольное число 
, 
, и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: 
.
Так как 
, то из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство 
справедливо при всех 
. Из следствия к теореме 2.5 и неравенства 
получаем, что неравенство 
справедливо при всех . Теперь неравенство
верно при всех 
. Из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .
Пусть теперь 
.Возьмем 
и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: 
. Отсюда и из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что неравенство 
справедливо при всех , т.е. 
. ■
Замечание. Если предел последовательности равен , и члены последовательности неотрицательны, то
.
Доказательство. 
.
Следствие. Справедливы утверждения:
а) Если 
, то 
; б)
.
Доказательство.
а) 
;
б) При любом имеем следующую цепочку равносильных утверждений: 
, если 
, если .
Пример. 8.1.Вычислить предел последовательности 
.
Решение. Сначала преобразуем общий член последовательности, умножая числитель и знаменатель на выражение 
, а затем перейдем к вычислению предела, используя теорему 2.12:
. ●
Задачи
8.1. Найти предел последовательности 
:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
;
з) 
; и) 
; к) 
.
8.2. Доказать, что если предел последовательности равен 
, то
.
§2.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Бесконечно малые последовательности
Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т.е. 
Среди бесконечно малых последовательностей отметим последовательности: 
.
Свойства бесконечно малых последовательностей
1.Если последовательность бесконечно малая, а последовательность 
является ограниченной, то 
является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство.Из ограниченности последовательности следует, что 
при всех 
. Возьмем любое . Поскольку 
, то неравенство 
справедливо для всех 
. Теперь неравенство 
справедливо для всех , т.е. выполняется условие 2 теоремы 2.5. Значит 
.
2. 
, где 
бесконечно малая последовательность.
Доказательство. 
, 
бесконечно малая 
. ■
Примеры
9.1. Найти предел последовательности 
.
Решение. Так как 
ограниченная последовательность, а 
, то из первого свойства бесконечно малых последовательностей следует, что
. ●
Теорема 2.13.Если 
, 
, и члены последовательности положительны, то — бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Так как 
, то можно взять 
настолько малым, чтобы выполнялось неравенство 
. Из условий 
, 
и следствия к теореме 2.5 вытекает, что при всех имеем верные неравенства 
. Следовательно, последовательность 
является убывающей, а также она ограничена снизу числом нуль. Поэтому эта последовательность имеет предел. Из 1-го утверждения в §5 вытекает, что последовательность тоже имеет предел.
Докажем, что 
. Если предположить, что 
, то
, (9.1)
так как предел подпоследовательности 
равен пределу последовательности (2-е утверждение в § 2.5). По условию 
, чтопротиворечит равенству (9.1). Следовательно, . ■
Примеры
9.2. Найти предел последовательности :
a) 
, б) 
Решение
а) Найдем предел последовательности 
. Так как 
, то
= 
.
Из теоремы 2.13 следует, что .
б) Найдем предел последовательности . Так как 
, то
= 
.
Из теоремы 2.13 следует, что . ●
Задачи
9.1.Найти предел последовательности 
:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
Бесконечно большие последовательности
Среди неограниченных последовательностей выделяют бесконечно большие последовательности. Именно, последовательность 
называется бесконечно большой, если для любого 
неравенство 
справедливо при всех . В этом случае пишут 
. Если ее члены положительны (отрицательны), то пишут 
.
Замечание. Равносильны следующие утверждения:
1. 
или 
.+
2. Для каждого числа 
окрестность 
или 
бесконечно удаленной точки содержит члены последовательности при всех 
, где 
некоторое натуральное число.
Доказательство следует из цепочки равносильных утверждений:
или 
или 
при всех 
или 
при всех .▲
Последовательности 
, 
, 
— примеры бесконечно больших последовательностей, причем 
, 
, 
.
Бесконечно большая последовательность является неограниченной, но существуют неограниченные последовательности, которые не являются бесконечно большими. Например, последовательность 
является неограниченной, так как содержит подпоследовательность 
, но неравенство 
не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.
Теорема 2.14.Последовательность , члены которой не равны нулю, является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность 
бесконечно малая.
Доказательство. Возьмем любое . Тогда число 
также произвольное число. Доказательство теоремы следует из следующей цепочки равносильных утверждений: последовательность 
бесконечно большая
справедливо при всех 
справедливо при всех число 
— предел последовательности 
последовательность бесконечно малая. ■
Следствия.
1.Если 
бесконечно большая последовательность, 
и число 
, то последовательность 
является бесконечно большой.
2.Если 
, то 
;
Доказательство
1.Так как последовательность является бесконечно большой, то из теоремы 2.14 следует, что последовательность 
бесконечно малая. Для доказательства следствия достаточно установить, что последовательность 
бесконечно малая. Применяя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:
.
2.Из теоремы 2.14 следует, что последовательность 
является бесконечно малой. Применяя теорему 2.12, имеем:
а) 
. ■
Примеры
9.3. Доказать, что последовательность 
является бесконечно большой.
Решение. Так как последовательность 
является бесконечно большой, а предел по
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 3344;
Поиск по сайту
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по истории
Публикации по медицине
