Дифференциальные зависимости при изгибе между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью распределённой нагрузки q.

Рассмотрим балку, загруженную произвольной распределенной нагрузкой. Двумя сечениями, отстоящими друг от друга на малую величину , выделим элементы. Внутренние силы, действующие в сечениях статически эквивалентны изгибающему моменту и поперечной силе. Мы рассматриваем и как функции z. При изменении независимой переменной на малую величину . и получат приращения, которые можно рассматривать как дифференциалы данных функций. Рассмотрим равновесие элемента.

Производная от поперечной силы по координате равняется по модулю интенсивности нагрузки, действующей на балку.

Пренебрегая малой второго порядка малости, получаем:

Производная от изгибающего момента по координате равняется поперечной силе.

При помощи данных формул проверяется правильность вычислений поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Чистый изгиб.

Допустим, что в данном случае в поперечных сечениях действуют лишь нормальные напряжения. Рассмотрим балку, загруженную таким образом, что возникает нагружение чистого изгиба.

1. Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.

Из 6 уравнений 3 удовлетворяются тождественно при любых значениях

Остаются 3 уравнения:

1)

2)

3)

Напряжения, рассматриваемые как функция координат:

должны удовлетворять статическим уравнениям (1-3).

Однако статических уравнений недостаточно для того, чтобы получить решение для напряжений. Надо рассмотреть еще деформации и принять закон, связывающие деформации и напряжения.

2. Геометрическая сторона задачи.

Характер деформации балки можно было бы наблюдать на модели из сильно деформируемого материала, например резины.

Изгибая резиновый брус с сеткой нанесенной на боковой поверхности мы бы увидели картину, похожую на ту, что показана на рисунке.

Мы видим, что поперечные сечения, оставаясь прямыми и нормальными к искривленным поперечным линиям, наклоняются друг к другу.

Этот факт был замечен еще в 1705 г. Я.Бернулли, многократно подтвержден экспериментами и сформулирован в форме гипотезы плоских сечений, положенный в основу технической теории изгиба:

Сечения плоские и нормальные к оси балки до изгиба остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки.

Пользуясь этой гипотезой, мы установим закон изменения удлинений волокон по высоте балки (под волокном понимаем мыслимый геометрический объект, а отнюдь не настаиваем на волокнистом строении материала).

Рассмотрим малый элемент. Очевидно, что верхние и нижние

волокна будут иметь разные по знаку деформации (в случае, показан-

ном на рисунке верхние волокна будут сжиматься, а нижние растягиваться), и т.к. деформация по своей сути – величина непрерывная, то

безусловно, где-то будет находиться слой не испытывающий деформации – нейтральный слой.

Пусть - радиус кривизны нейтрального слоя, а - координата, отсчитываемая от нейтрального слоя.

Удлинение произвольного волокна равняется:

В нашем случае а

(Напомним, что кривизна положительна, когда положительна координата кривизны). Чтобы привести знаки в соответствие с физическим смыслом запишем аналитическая запись гипотезы плоских сечений.

3. Физическая сторона задачи.

Мы уже не раз говорили о том, что между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена экспериментальным путем. Примем эту связь простейшей, т.е. будем считать, что материал линейно упруг, т.е. следует закону Гука.

Допустим, что волокна не давят друг на друга, а это для случая чистого изгиба совершенно точный факт, подтвержденный точным решением методами теории упругости, то тогда оказывается, что каждое волокно работает либо на растяжение, либо на сжатие, и в этой ситуации можно применить закон Гука:

Вернемся к статическим уравнениям (1-3) и подставим в них

выражение (5). Мы получим 3 уравнения, содержащие одну неизвестную величину .

Эта система будет совместна только при некоторых условиях.

Подставим в (1): , т.к. (балка деформировалась и кривизна отлична от нуля), то , т.е. если поместить начало координат в центр тяжести сечения, то первое условие совместности будет удовлетворительно. Вспомним, что координата отсчитывалась от нейтрального слоя. Отсюда вывод: при изгибе нейтральный слой проходит через центр тяжести. Подставим в (2):

т.е. оси, в которых рассматривается изгиб, должны быть главными.

Итак! Приняв оси и за главные, центральные оси мы удовлетворяем уравнениям (1) и (2).

Осталось уравнение (3)

- основная зависимость при изгибе.

Произведение модуля упругости на момент инерции называется жесткостью при изгибе.

Основную зависимость при изгибе можно сформулировать: кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости при изгибе.

Обратим внимание. Если чистый изгиб, то М-const и тогда изогнутая ось – дуга окружности. Подставим выражение для в (5) и получим закон распределения нормальных напряжений:

Чаще всего в дальнейшем мы знаки напряжений будем расставлять по физическому смыслу и запишем, как это обычно принято в сопротивлении материалов.

Проанализируем полученный закон распределения нормальных напряжений.

1. Мы видим, что напряжения не зависят от координаты , следовательно, по ширине сечения распределяются равномерно.

2. По высоте сечения нормальные напряжения распределяются линейно. На уровне центра тяжести они равны нулю, а максимальны по модулю в точке наиболее удаленной от нейтральной оси (следа на плоскости сечения нейтрального слоя). Если обозначить

, где - расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки, то максимальное по модулю напряжение в сечении находится по формуле:

Основная литература: 1;2

Дополнительная литература: 1;2

Контрольные вопросы.

1. Чему равна интенсивность распределённой нагрузки?

2. Чему равна поперечная сила Q?

3. Какой внутренний силовой фактор возникает при чистом изгибе?

4. Какое напряжение возникает при чистом изгибе?

5. По какой формуле определяется напряжение при чистом изгибе?

6. Как обозначается жёсткость при изгибе?

7. Где при чистом изгибе напряжение имеет максимальное и минимальное значения?

Лекция №14.

Цели занятия:

1. Рассмотреть деформацию поперечный изгиб, практическое применение поперечного изгиба.

2. Ознакомить с условием прочности и жёсткости при изгибе.

План занятия:

1. Поперечный изгиб.

2. Условие прочности при изгибе.

3. Условие жёсткости при изгибе.

Поперечный изгиб.

При поперечном изгибе, помимо изгибающего момента, в поперечном сечение имеется также и поперечная сила, которая является результирующей элементарных усилий, действующих в плоскости сечения. Т.е. помимо нормальных напряжений возникают и касательные напряжения.

Касательные напряжения искривляют поперечные сечения и гипотеза плоских сечений, вообще говоря, не выполняется. Однако если длина велика по сравнению с высотой балки, то искривления по перечных сечений и возникающее в случае поперечного изгиба взаимное нажатие волокон не оказывают существенного влияния на величину нормальных напряжений, и нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться по тем же формулам, что и при чистом изгибе.

Дадим грубую оценку касательных напряжений при изгибе.

Пусть - длина балки, а

- характерный размер поперечного сечения.

Если сечение не является тонкостенным, то площадь его отличается от величины числовым множителем порядка единицы. Тогда среднее касательное напряжение в сечении имеет порядок

Оценим порядок нормальных напряжений.

Наибольший момент имеет порядок , а момент сопротивления порядок (например для прямоугольного сечения ). Таким образом нормальное напряжение имеет следующий порядок: , откуда видно, что если длина стержня велика по сравнению с характерным размером поперечного сечения , то касательные напряжения при расчетах на прочность обычно не принимаются во внимании. Однако, исключения составляют случаи:

1. Тонкостенные стержни.

2. В случае конструкций, выполненных из материалов с малым сопротивлением межслойному сдвигу, например, древесина, или, получающие в настоящее время большое распространение армированные пластики, когда касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные.

3. Для расчета соединений (поясных швов, заклепок) в металлических балках составного сечения.

Имея это ввиду, мы приведем формулу для определения касательных напряжений при изгибе, полученную нашим соотечественником Д.И.Журавским в середине прошлого века. , где - касательные напряжения в слое, отстоящим от нейтральной оси на расстоянии .

- поперечная сила в сечении.

- статический момент части сечения, расположенной выше слоя в котором определяются касательные напряжения относительно оси .

- момент инерции относительно оси .

Следует иметь ввиду, что формула приближена и дает приемлемые результаты для высоких узких сечений.