Геометрические характеристики.

Геометрические характеристики поперечных сечений конструкций применяются при расчётах на прочность и жёсткость при различных видах деформаций.

Возьмём на плоскости произвольную фигуру, проведём через произвольную точку фигуры две взаимно – перпендикулярные оси. Выделим в фигуре бесконечно малую площадь dS.

dS → 0

Расстояние от площади dS до оси x обозначим y, до оси y обозначим x, до начала координат обозначим ρ.

Теперь перейдём непосредственно к геометрическим характеристикам.

Существуют следующие геометрические характеристики поперечных сечений конструкций:

1. Площадь.

Применяется при расчётах на прочность и жёсткость при растяжении, сжатии, сдвиге.

Обозначается S.

Единицы измерения (мм²;см²;м²)

2. Статический момент относительно оси – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на расстояние до оси.

Применяется при расчётах на прочность и жёсткость при некоторых сложных видах деформаций.

Обозначается С.

Для элементарной площади dS

dC_X = y·dS

dC_У = x·dS

Для всей фигуры

C_X =ʃ y·dS

S

C_У =ʃ х·dS

S

Единицы измерения (мм³;см³;м³).

3.Осевой момент инерции относительно оси – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на квадрат расстояния до оси.

Применяется при расчётах на жёсткость при изгибе.

Обозначается J.

Для элементарной площади dS

dJ_X = y² ·dS

dJ_У = x² ·dS

Для всей фигуры

J_X =ʃ y²·dS

S

J_У =ʃ x²·dS

S

Единицы измерения (мм⁴;см⁴;м⁴).

4.Полярный момент инерции относительно точки – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на квадрат расстояния до рассматриваемой точки.

Применяется при расчётах на жёсткость при кручении.

Обозначается J_ρ

Для элементарной площади dS

dJ_ρ = ρ² ·dS

Для всей фигуры

J_ρ = ʃ ρ²·dS

S

Единицы измерения (мм⁴;см⁴;м⁴).

Из размеров х,у,ρ построим прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора ρ² = x² + y² – умножим всё уравнение на dS, получим

ρ² = x² + y² – проинтегрируем, получим

ʃ ρ²·dS = ʃ x²·dS + ʃ y²·dS

S S S

где ʃ ρ² ·dS = J_ρ

S

ʃ x²·dS = J_У

S

ʃ y²·dS = J_X

S

В итоге получаем

J_ρ = J_У + J_X

5. Центробежный момент инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на расстояние до осей.

Применяется при расчетах на прочность и жёсткость при некоторых сложных видах деформаций.

Обозначается для данного случая J_XУ

Для элементарной площади dS

dJ_XУ = ху·dS

Для всей фигуры

J_XУ =ʃ хy·dS

S

Единицы измерения (мм⁴;см⁴;м⁴).

Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

6. Осевой момент сопротивления относительно оси.

Применяется при расчётах на прочность при изгибе.

Обозначается W.

W_X = J_X / у_max

W_У = J_У / х_max

Единицы измерения (мм³;см³;м³).

7. Полярный момент сопротивления относительно точки.

Применяется при расчётах на прочность при кручении.

Обозначается W_ρ

W_ρ = J_ρ / ρ_max

Единицы измерения (мм³;см³;м³).

Основная литература: 1;2

Дополнительная литература: 1;2

Контрольные вопросы.

1. С какой целью применяются геометрические характеристики в сопромате?

2. Какие вы знаете геометрические характеристики?

3. Как обозначаются и в каких единицах измеряются геометрические характеристики?

Лекция №9.