Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных производных. Изложение этого метода мы проведем для задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению однородного уравнения
(1.132) |
при однородных граничных условиях
, | (1.133) |
и начальных условиях
, , . | (1.134) |
Выделим две части метода Фурье. Первая часть заключается в отыскании частных решений уравнения (1.132), удовлетворяющих граничным условиям (1.133). Вторая часть - нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям (1.134).
Будем искать частные решения (1.132), не равные тождественно нулю, в виде произведения двух функций
, | (1.135) |
удовлетворяющие граничным условиям (1.133).
Дифференцируя дважды выражение (1.135) по и по , получим
, .
Подставляя найденные производные в уравнение (1.132), получим
или, деля обе части равенства на ,
.
Последнее равенство, левая часть которого зависит от , а правая - только от , возможно лишь в том случае, когда обе части его не зависят ни от ни от , т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через (Знак числа будет обоснован ниже). Итак, имеем
. | (1.136) |
Из равенства (1.136) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
, | (1.137) |
. | (1.138) |
Таким образом, уравнение (1.132) распалось на два уравнения, из которых одно содержит функцию только от , а другое - функцию только от или, как говорят, в уравнении (1.132) переменные разделились.
Поскольку мы ищем решения вида (1.135), удовлетворяющие граничным условиям (1.133), то при любом значении должны соблюдаться равенства
, .
Если бы обращался в нуль второй сомножитель ( ), то функция равнялась бы нулю при всех значениях и . Такой случай интереса не представляет. Поскольку мы ищем нетривиальные решения, т.е. не равные тождественно нулю, то мы должны считать, что
и . | (1.139) |
Для определения функции мы пришли к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения: найти такие значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1.138), удовлетворяющие граничным условиям (1.139). Эту задачу называют задачей Штурма-Лиувилля.
Те значения параметра , при которых задача (1.138) - (1.139) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами эти решения - собственными функциями.
Найдем теперь собственные значения и собственные функции задачи (1.138) - (1.139). Нужно рассмотреть три случая, когда , и .
Уравнение (1.138) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение
;
отсюда , следовательно, вид решения зависит от знака .
А. Пусть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны и общее решение уравнения (1.138) имеет вид
.
Удовлетворяя граничным условиям (1.139), получим
Так как определитель этой однородной системы
,
то, как известно, система имеет единственное решение и . Следовательно, .
Таким образом, в этом случае решений, отличных от нуля, не существует.
Б. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю и
.
Граничные условия (1.139) дают:
Отсюда , и, следовательно, .
В. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые ( ) и решение уравнения (1.138) имеет вид
.
Удовлетворяя условиям (1.139), получим
Из первого уравнения следует, что , а из второго следует, что . Последнее равенство возможно, когда , ибо в противном случае . Поэтому
,
откуда определяем , где - любое целое число .
Следовательно, нетривиальные решения задачи (1.138) - (1.139) возможны лишь при значениях
. | (1.140) |
Решение, отвечающее фиксированному значению , обозначим через . Оно имеет вид
.
Для дальнейшего можем положить .
Итак, собственным значениям соответствуют собственные функции
, . | (1.141) |
Заметим, что в соотношениях (1.140), (1.141) мы ограничились только положительными значениями для , так как отрицательные значения не дают новых решений.
Обратимся теперь к отысканию функций . Каждому собственному числу будет соответствовать свое решение уравнения (1.137), которое обозначим через . Для функции имеем уравнение
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
,
где - произвольные постоянные.
Таким образом, функция
, | (1.142) |
, удовлетворяет уравнению (1.132) и граничным условиям (1.133) при любых и .
Перейдем ко второй части метода Фурье.
При помощи собственных функций построим решения, удовлетворяющие начальным условиям (1.134).
Возьмем общее решение уравнения (1.142) в виде ряда
. | (1.144) |
Если ряд (1.144) сходится равномерно в области , , то сумма его является непрерывной функцией в этой области. В силу однородности и линейности уравнения (1.132) ряд (1.144) будет также решением, если его можно почленно дифференцировать по и по . Действительно, при указанных условиях получим
,
так как функции удовлетворяют уравнению (1.132).
Далее, поскольку каждое слагаемое в (1.144) удовлетворяет граничным условиям (1.133), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е. функция . Остается определить постоянные и так, чтобы функция (1.144) удовлетворяла начальным условиям.
Продифференцируем ряд (1.144) по :
. | (1.145) |
Подставляя в (1.144) и (1.145), получим в силу начальных условий (1.134):
(1.146) |
Формулы (1.146) представляют собой разложение заданных функций и в ряд Фурье по синусам на интервале .
Из теории рядов Фурье известно, что всякая функция , непрерывная на отрезке вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:
,
где
.
Предполагая, что функции и удовлетворяют указанным условиям, мы можем утверждать, что и - коэффициенты Фурье, которые вычисляются по известным формулам:
, | (1.147) |
,
откуда
. | (1.148) |
Таким образом, ряд (1.144), в котором и вычисляются по формулам (1.147), (1.148), дает решение смешанной краевой задачи (1.132)…(1.134).
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 3679;