Система базисных функций

Сущность задач анализа реальных сигналов состоит в том, чтобы эти сигналы представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, удобных для анализа. Реальный сигнал может быть представлен в виде суммы ортогональных составляющих (элементарных сигналов) [10]

(1.1)

приt принадлежащемотрезку ортогональности [t₁,t₂]. Формула (1.1) называется разложением сигнала по системе базисных функций y_k(t). Коэффициенты a_k называются спектром разложения сигнала в ряд базисных функций.

К системе базисных функций предъявляются следующие требования:

- для любого сигнала ряд (1.1) должен сходиться;

- y_k(t) должно иметь простую аналитическую форму;

- a_k должны вычисляться аналитически просто.

Условие ортогональности базисных функций имеет вид

, (1.2)

где число c_i называют нормой базисной функции y_i(t). Каждую базисную функцию можно нормировать по ее норме, причем нормированная функция имеет вид

.

Система (1.2.) примет вид

(1.3.)

где d_ij - символ Кронекера.

Для определения a_k умножим правую и левую части уравнения (1.1) на y_k(t) и проинтегрируем обе части на отрезке ортогональности:

.

Приk=iправый интеграл равен единице, тогда

. (1.4)

Ортогональное разложение (1.1) называется обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты a_k - обобщенными коэффициентами Фурье. Набор чисел {a_k} называется спектрами сигнала. Пример ортонормированных базисных функций – базис тригонометрического ряда Фурье на отрезке [-p,p]

.

Аппроксимируем произвольную функцию x(t) линейной комбинацией n ортогональных функций

.

Определим постоянные a_i, при которых среднеквадратическая величина s функции x_l(t)®min, где

или . (1.5)

Из (1.5) следует, что s есть функция от a_i и для ее минимизации необходимо принять . Так как t₂-t₁ºconst, из (1.5) получим

(1.6)

Если возвести в квадрат выражение в квадратных скобках под знаком интеграла, то в силу ортогональности все слагаемые вида

,

т.е. производная всех слагаемых, не содержащих a_i, равна нулю, и тогда

, , .

В формуле (1.6) останется два слагаемых

.

Изменив порядок интегрирования и дифференцирования, получим

. (1.7)

Если a_i выбирать по формуле (1.7), то

,

Из формулы (1.7) следует, что , тогда определим s

.