Линейные операции над векторами

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными. Геометрически векторную величину изображают в виде вектора.

Вектором называется направленный отрезок.

Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например , или строчной латинской буквой . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение : или .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: .

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.

Векторы и называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

1.Сложение векторов.

Суммой двух векторов и называется третий вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго при условии, что второй вектор приложен к концу первого.

О

Построение суммы векторов таким методом называется правилом треугольника.

Существует другой способ построения суммы векторов – правило параллелограмма.

О

2. Вычитание векторов.

Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором будет равен вектору :

если .

Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно привести и к общему началу и построить вектор , начало которого совпадает с концом вектора (вычитаемое), конец совпадает с концом вектора (уменьшаемое)

3. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна произведению модулей , а направление совпадает с направлением вектора , если и противоположно направлению вектора , если

Свойства линейных операций над векторами:

1.

2.

3.

4.

5.