Магнитное поле на оси симметрии плоского кругового кольца с током.

В качестве второго примера вычислим индукцию магнитного поля на оси симметрии плоского кругового тонкого кольца с током. Пусть круговое кольцо радиуса расположено в плоскости декартовой системы координат , пусть по кольцу против часовой стрелки течёт электрический ток (рис. 1). Элемент контура с током можно описать выражением , где угол отсчитывается от оси х в направлении к оси у. Точка наблюдения М находится на оси 0z, её положение определено значением координаты z. Расстояние между элементом контура с током и точкой наблюдения равно .

В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа можно вычислить модуль дифференциала вектора магнитной индукции, образованного рассматриваемым элементом контура с током:

. (1)

При записи выражения (1) учтено, что вектор перпендикулярен линии, соединяющей начало элемента контура с током и точку наблюдения. Разложим полученный вектор на две составляющие – вдоль направления 0z и по касательному направлению к плоскости контура с током. Заметим, что из условия осевой симметрии задачи следует, что для каждого рассматриваемого элемента контура с током найдётся точно такой же элемент, расположенный симметрично исходному относительно начала координат. В этом случае проекция вектора магнитной индукции , образованного исходным элементом контура, и аналогичная проекция вектора, образованного симметричным элементом контура, взаимно уничтожатся. Осевая составляющая вектора

(2)

является величиной, пропорциональной величине элементарного угла . Проинтегрируем полученное выражение по угловой координате в пределах от нуля до (т.е. просуммируем вклад всех элементов контура с током в формирование осевой составляющей магнитного поля): . (3)

Магнитная индукция в центре тонкого плоского кругового кольца с током отлична от нуля: . (4)

По мере удаления точки наблюдения от плоскости контура с током величина магнитной индукции монотонно убывает, на далёких расстояниях от плоскости контура с током ( ) индукция магнитного поля обратно пропорциональна кубу расстояния.

Заметим, что методика выполнения расчёта вектора индукции магнитного поля в настоящем разделе и методика предыдущего раздела различаются между собой. Успешный результат проведения расчётов в настоящем разделе обусловлен высокой степенью симметрии задачи. Эта методика оказывается неприменимой, если симметрия задачи нарушена. Методика предыдущего раздела более продуктивна и не только потому, что она «работоспособна» в общем случае. Дело в том, что правильно описать положение точки в пространстве значительно легче, чем описать ориентацию специфическим образом направленного отрезка. Более громоздкая форма записи векторных соотношений с использованием проекций этих величин на оси декартовой системы координат позволяет не заботиться о достоверности результата.