Соотношение между нормальными компонентами напряженности электростатического поля при переходе через заряженную поверхность с распределенными зарядами.

Рассмотрение свойств электростатического поля в вакууме было бы неполным без анализа зависимостей между нормальными компонентами напряженности электростатического поля по разные стороны от поверхности, по которой распределены известным способом электрические заряды.

Пусть в окрестности произвольной точки М поверхности выделена малая площадка и выбрано положительное направление нормали . Область, расположенная в “положительном” пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 2, а область в “отрицательном” пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 1. Из каждой точки контура, ограничивающего площадку , восстановим перпендикуляр к поверхности и отложим в среде 2 и среде 1 на этом перпендикуляре отрезок . Поверхность площадок и вместе с боковой поверхностью (рис. 1) образуют замкнутую поверхность, охватывающую объем с различающимися локальными характеристиками поля.

M

h

К рассматриваемому объему применима теорема Гаусса для векторного поля в интегральной форме:

, (1)

где - вектор внешней нормали к элементу площади боковой поверхности, - суммарная величина электрических зарядов внутри рассматриваемого объема:

. (2)

При записи выражения (2) учтено, что в областях 1 и 2 может существовать объемная плотность электрических зарядов, а сама поверхность может дополнительно содержать электрические заряды с поверхностной плотностью .

В математическом анализе известна оценка максимальной величины интеграла : . С учетом этой оценки можно получить неравенства

(3)

При эти интегралы стремятся к нулю, площадь элемента поверхности стремится к площади элемента , таким же образом, , и в итоге из уравнения (1) получается условие:

. (4)

Замечая, что , приходим к соотношению:

. (5)

Поскольку соотношение (5) должно выполняться для произвольной площадки , то из интегрального условия (5) следует локальное условие:

(6)

Сформулируем полученный результат:

нормальные компоненты векторного поля при переходе через поверхность, на которой имеет место поверхностная плотность электрического заряда, испытывают скачок, равный поверхностной плотности электрического заряда, делённой на величину электрической постоянной .

Если на рассматриваемой поверхности, в частности на контрольной поверхности, отсутствует поверхностная плотность электрического заряда, нормальные компоненты векторного поля остаются непрерывными.

Соотношение (6) ранее было получено для нескольких частных случаев расчёта напряженности электростатического поля с использованием принципа суперпозиции. Теперь становится ясным общий характер такого результата.

Заметим, что соотношение (6) теряет силу для точек поверхности , в которых расположены точечные заряды, и для линий, лежащих на поверхности и заряженных погонной плотностью свободных зарядов.

Теорема Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля не позволяет получить информацию о поведении касательных компонент рассматриваемого вектора . Этот вопрос будет подробно обсуждён в последующих разделах пособия.