Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Примерами краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений являются следующие задачи:

1) Найти функцию u(x), которая удовлетворяет на отрезке [a, b] уравнению

, (7.27)

а на концах отрезка условиям

u(a) = u(b) = 0. (7.28)

Задача (7.27), (7.28) имеет следующее содержание. Между точками
x = a и x = b натянута упругая струна, находящаяся под действием внешней изгибающей нагрузки. f(x) — величина нагрузки, а u(x) — прогиб струны в безразмерных единицах.

2) Двухточечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка

(7.29)

(7.30)

Метод прогонки

Рассмотрим частный случай задачи (7.29), (7.30)

(7.31)

(7.32)

Введем сетку: . Обозначим через u_i приближенные значения u(x) в узлах сетки. Рассмотрим уравнение (7.31) во внутренних узлах и заменим производную второго порядка разностной формулой (5.11):

. (7.33)

Тогда из (7.31), (7.32) получим для определения u_i систему линейных уравнений

(7.34)

Система (7.34) при p(x) ≥ 0 имеет решение. Доказательство этого утверждения можно найти в [1].

Система (7.34) представляет собой систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей

(7.35)

и для её решения применим метод прогонки, который фактически является методом исключения неизвестных Гаусса.

1. Прямой ход прогонки.Запишем первое уравнение (7.35) в виде

(7.36)

Подставив (7.36) во второе уравнение (7.35) и упростив выражения, увидим, что можно для u_i получить формулы

(7.37)

Из последнего уравнения (7.35), учитывая (7.37) при , получим

(7.38)

2. Обратный ход прогонки.После вычисления прогоночных коэффициентов можно найти значения решения задачи. Формула (7.38) дает значение :

(7.39)

Остальные значения вычисляем в обратном порядке

(7.40)

Пример 7.6.Решить краевую задачу методом прогонки

.

Решение в программе Excel.Выберем N = 10, т.е. шаг h = π/10 ≈ 0,31415926.

Составим таблицу значений аргумента x, функций p(x) и f(x), вычислим прогоночные коэффициенты и приближенные значения искомого решения по формулам (7.36) — (7.40). В таблице 7.11 приведен фрагмент листа Excel с результатами вычислений.

1) Заполним столбцы A1:A15, B1:B15 и строку A4:H4 как в таблице 7.11. При заполнении столбца значений переменной x можно ввести 0 в ячейку B5, 3,1415926 в ячейку B6, затем выделить B5:B6 и маркером заполнения протянуть до ячейки B15.

2) Присвоим имена a, b и h ячейкам B1, B2, B3 соответственно с помощью команды «Вставка — Имя — Присвоить».

Приведем содержимое для остальных ячеек, которые содержат формулы.

3) В столбце для значений p(x), т.е. в ячейках C5:C16 записываем единицы, так как p(x) = 1.

4) В диапазоне D5:D16 вводим формулу =-2*SIN(x), так как
f(x) = – 2sinx. Для этого достаточно ввести эту формулу в ячейку D5 и протянуть D5 маркером заполнения до D15.

5) В ячейку E5 введем число 0, а в ячейку E6 — формулу
=1/(2+C6*h^2-E5) и протянем ячейку E6 маркером заполнения до E13. В ячейку E14 запишем число 0.

6) В ячейку F5 введем число 0, в ячейку F6 вводим формулу
=(a-D6*h^2)/(2+C6*h^2-E5), и в ячейку F7 введём =(F6-D7*h^2)/(2+C7*h^2-E6) и протянем ячейку F7 маркером заполнения до F14.

7) Вычислим решение. В ячейку G14 введем =F14, в ячейку G13 введем формулу =E13*G14+F13 и протянем G13 вверх до ячейки G6.

8) Для проверки правильности вычислений вычислим в столбце H5:H15 значения точного решения задачи . В ячейку H5 введем формулу =sin(x) и протянем ячейку H5 до H15.

Как видим из таблицы, полученные приближенные значения имеют абсолютную погрешность не более 0,01.

Таблица 7.11

Рассмотрим ещё один пример простой краевой задачи, решение которой получим с помощью той же таблицы Excel.

Пример 7.7.Решить краевую задачу методом прогонки

Решение в программе Excel. Выберем шаг h = 0,1, т.е. разделим отрезок [1, 2] на N = 10 частей. Откроем файл с решением примера 7.4 и внесем в таблицу изменения. Эти изменения не касаются столбцов E, F и G, в которых записаны формулы (7.27) — (7.31) метода прогонки.

Так как a = 2, b = 12 и h = 0,1, в ячейки B1:B3 вводим числа 2, 12 и 0,1.

Отметим те изменения, которые не видны явно в таблице 7.12.

В столбце для значений p(x), т.е. в ячейках C5:C16 записываем нули, так как p(x) = 0.

В ячейку D5 вводим формулу =6*x+2, так как f(x) = 6x + 2, и протянем ячейку D5 до D15.

В ячейку H5 введем формулу =x^3+x^2 и протянем ячейку H5 до H15.

Результаты приведены в таблице 7.12.

Таблица 7.12

Точное совпадение решения системы уравнений (7.34) со значениями решения краевой задачи (7.31), (7.32) объяснятся следующим обстоятельством. Разностная формула для производной второго порядка (7.33) дает точное значение (!) для кубических функций.