Обратная геодезическая задача.

Виды геодезических задач и точность их решения.

Сущность почти всех видов геодезических задач на поверхности эллипсоида состоит в определении геодезических координат точки по заданным координатам других точек и по измеренным или заданным угловым и линейным величинам.

Между точками Q₁ и Q₂ на поверхности проведена геодезическая линия.

Точка Q₁ – начальная точка геодезической линии.

Точка Q₂ – конечная точка геодезической линии.

Геодезическая линия от точки Q₁ к точке имеет прямое направление, а от точки Q₂ к точке Q₁ – обратное направление.

В любой точке геодезической линии её азимут называется прямым, если он указывает прямое направление, и обратным, если он указывает обратное направление этой линии. Прямой и обратный азимуты в одной и той же точке отличаются на 180^о.

Прямой азимут в начальной точке называют также начальным азимутом геодезической линии.

Прямая геодезическая задача.

Даны геодезические координаты В₁ и L₁ некоторой точки Q₁, а также длина геодезической линии s и её начальный азимут А₁. По этим данным требуется найти координаты В₂ и L₂, а также обратный азимут А₂ в точке Q₂.

Обратная геодезическая задача.

Даны геодезические координаты В₁, L₁ и В₂, L₂ двух точек Q₁ и Q₂. Требуется найти кратчайшее расстояние s (длину геодезической линии) между заданными точками, а также прямой А₁и обратный А₂ азимуты этой линии в точках Q₁ и Q₂.

В обратной задаче геодезические координаты не определяются а задаются, поэтому её решение используют для контроля решения прямой геодезической задачи.

Вместе с тем она имеет и большое самостоятельное значение. Она широко применяется при решении многих технических задач в которых требуется определить расстояние и направление между двумя любыми точками на земной поверхности.

Прямую и обратную геодезические задачи называют главными геодезическими задачами.

Прямая геодезическая задача применяется при вычислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса. В результате решения треугольников в сети 1 класса в каждом треугольнике будут известны все углы и все длины сторон. Для одного из пунктов, принятого за начальный, должны быть известны геодезические координаты В₀, L₀ и азимут А₀ с начального пункта на один из соседних пунктов.

Зная координаты начального пункта, а также расстояния и азимуты на соседние пункты, вычисляют геодезические координаты и обратные азимуты всех других пунктов, непосредственно связанных с начальным пунктом. Принимая затем каждый из этих пунктов за начальный. Вычисляют геодезические координаты и обратные азимуты соседних с ним пунктов и т.д.

Разнообразия в расстояниях, по которым возникает необходимость решения главных геодезических задач, различные требования к точности не позволяют рекомендовать какой-либо единый метод и единые формулы. Поэтому, в зависимости от указанных условий, целесообразно применять различные методы и формулы решения задач. Условно расстояния можно разделить на четыре группы:

1. Малые расстояния – до 30-45 км.

2. Средние расстояния – до 600 км.

3. Большие расстояния – до 5000 км.

4. Очень большие расстояния – до 19000 км.

При развитии государственной сети геодезических пунктов прямая и обратная геодезические задачи применяются для малых расстояний (20 – 60 км, в редких случаях 200 – 300 км). В специальных целях такие задачи приходится решать на любые расстояния вплоть до 20 000 км.

Угловая засечка.

Даны геодезические координаты В₁, L₁ и В₂, L₂ двух точек Q₁ и Q₂, а также направление с этих точек на третью точку Q₃. В качестве могут служить азимуты линий А₁₃ и А₂₃ или горизонтальные углы β₁₃ и β₂₃ в заданных пунктах. Линиями, для которых заданы направления, могут быть геодезические линии, нормальные сечения, центральные сечения и т.п. Необходимо найти геодезические координаты точки Q₃.

Линейная засечка.

Даны геодезические координаты В₁, L₁ и В₂, L₂ двух точек Q₁ и Q₂, а также длины линий s₁₃ и s₂₃, соединяющих точки Q₁ и Q₂с третьей точкой Q₃. В качестве таких линий могут служить геодезические линии, нормальные сечения, центральные сечения и т.п. Необходимо найти геодезические координаты точки Q₃.

Точность решения геодезических задач.

Математические методы решения геодезических задач обеспечивают выполнение вычислений с любой практически необходимой точностью. Однако чем выше требуемая точность, темсложнее вычислния. Поэтому при любых вычислениях следует заранее установить практически необходимую точность, чтобы вычисления были экономны, не требовали лишних затрат вычислительного труда.

Выполняя любые сложные технические расчёты, необходимо учитывать, что на точность результата вычислений оказывают влияние три вида погрешностей:

1) Погрешности исходных данных, являющиеся обычно функциями погрешностей измеренных величин;

2) Погрешности формул, представляющих приближённые математические зависимости (например, отброшенные члены в рядах);

3) Погрешности вычислений, возникающие из-за округления чисел как в процессе вычислений, так и при использовании приближённых значений тригонометрических функций и различных вычислительных средств (счётных машин), выдающих как правило округлённые числа.

Точность результата вычислений определяют главным образом погрешности исходных данных, отражающие современный уровень техники и методов измерений. В соответствии с этой точностью должны подбираться формулы и вычислительные средства.

Исходными данными для всякого рода вычислений в геодезии кроме постоянных величин являются результаты измерений линий и углов.

Наивысшую точность определения взаимного положения точек земной поверхности при современном уровне техники измерений даёт триангуляция 1 класса.

В триангуляции 1 класса углы определяются с погрешностью ±0,7″, а длины сторон с относительной погрешностью 1:400 000. Длины сторон должны быть не менее 20 км.

Линейный сдвиг конечной точки линии длиной 20 км, вызываемый погрешностью измеренного угла или погрешностью измеренной стороны, равен

Проекция линейного сдвига на меридиан в градусной мере выразится

В триангуляции 1 класса геодезические координаты и азимуты вычисляются последовательно от пункта к пункту. Чтобы не допустить накопления погрешностей в координатах за счёт погрешностей вычислений, широты и долготы вычисляют с точностью до 0,0001″.

Уравненные на станции измеренные направлении выводят до 0,01″. Чтобы избежать накопления погрешностей при передаче азимута от пункта к пункту, геодезические азимуты принято вычислять с точностью до 0,001″. В каталоги координат помещаются округлённые после уравнивания геодезической сети значения: координат до 0,001″, азимутов до 0,01″.