Численные кванторы.

В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n” (“хотя бы n”), “не более чем n”, “n и только n” (“ровно n”), где n – натуральное число.

Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл; они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака или ~, означающего тождество (совпадение) объектов.

Пусть n=1. Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P” имеет тот же смысл, что и предложение “Существует объект, обладающий свойством P”, т.е. (*)

Предложение “не более чем один объект обладает свойством P” равнозначно предложению “Если есть объекты, обладающие свойством P, то они совпадают”, т.е. (**) Предложение “один и только один объект обладает свойством P” равнозначно конъюнкции вышеуказанных предложений (*) и (**).

3.3 Отрицание предложений с кванторами.

Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Например, отрицанием предложения “Река х впадает в Черное море.” является предложение “ Река х не впадает в Черное море ”. Годится ли этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.

Предложения “Все птицы летают ” и “Все птицы не летают ” не являются отрицаниями друг друга, т. к. они оба ложны. Предложения “ Некоторые птицы летают ” и “ Некоторые птицы не летают ” не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны.Таким образом , предложения , полученные добавлением частицы “не” к сказуемому предложений “Все х суть Р” и “Некоторые х суть Р” не являются отрицаниями этих предложений.Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания “наверно, что” в начале предложения. Таким образом, отрицанием предложения “Все птицы летают” является предложение “Неверно, что все птицы летают”; но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение “Некоторые птицы не летают”. Отрицанием предложения “Некоторые птицы летают” является предложение “Неверно, что некоторые птицы летают”, которое имеет тот же смысл, что и предложение “Все птицы не летают”.

Условимся отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения – как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение – тот же смысл, что . Иначе говоря, равносильно ; равносильно .

Кванторы общности и существования называют двойственными относительно друг друга. Выясним теперь, как строить отрицание предложения, начинающегося с нескольких кванторов, например, такого: .