Оценка области параметрических ограничений, заданной в виде интервала изменения параметров

Рассмотрим подход к оценке области , заданной в виде

, (20)

на основе анализа НИП и метода секущих для объекта

, (21)

где — вектор параметров, принадлежащий ограниченной области (20) с неизвестными параметрами , .

Для объекта (21) имеется информация и получен наблюдаемый информационный портрет .

Введем вектор , который мажорирует вектор в (21). Рассмотрим частный случай области , соответствующей верхней границе области ограничений

Для оценки вектор можно применить математическую модель

. (22)

Ставится задача: для объекта (21) на основе анализа данных и отображения получить оценки вектора в (20) с помощью модели (22) таким образом, чтобы выполнялось условие доминирования

для почти . (23)

Под доминированием будем понимать выполнение неравенства для почти .

Для решения задачи может применяться несколько подходов. Изложим один из них, основанный на проверке условия доминирования, используя в качестве вторичного критерия математическое ожидание исследуемых переменных.

Рассмотрим проекции НИП на плоскости и построим секущие

, (24)

со следующими областями определения и значений:

, ,

где , — интервалы изменения переменных ; — некоторые числа.

Полагаем и получаем приближенную оценку области

где . Неравенство понимается как поэлементное.

Индекс 0 обозначает уровень подстройки вектора модели (22) и не совпадает с шагом изменения интервала .

Далее по модели (22) с находим прогноз выхода объекта и величину коэффициента взаимной корреляции . Проверяем условие доминирования

Если оно выполняется для почти всех , то полагаем и процесс определения области параметрических ограничений на этом заканчиваем. В противном случае применяем алгоритм коррекции области , который обеспечивает выполнение условия доминирования.

Алгоритм коррекции состоит в следующем. Вычисляем математические ожидания для и

и определяем величину

. (25)

Лемма. .

Величина показывает насколько переменная “недотягивает” до области доминирования над . Если , то п. н.

На основе формируем множество поправок вектора . Для этого находим величины

, (26)

для которых определяем математические ожидания . Далее формируем вектор поправок

. (27)

Так как необходимо обеспечить условие доминирования, то коррекцию вектора осуществляем по формуле

, (28)

где — диагональная матрица с , и с помощью модели (22) определяем прогноз для . Далее находим и . Если окажется, что и

, ,

то полагаем и на этом процесс построения области параметрических ограничений заканчивается. В противном случае адаптация вектора должна продолжаться.

Утверждение 1. Если начальное значение вектора определяется на основе секущих (24), а его коррекция в уравнении (22) осуществляется согласно (27), (28), то оценка области параметрических ограничений

(29)

является допустимой, если выполняется условие доминирования для почти и

. (30)

Условие (30) накладывает ограничение на класс допустимых моделей (22). За центр области принимается значение .

Замечания

1. В (26) вместо

можно использовать текущее (по времени

) значение невязки

. 2. Если процессы в системе носят стохастический характер, то для принятия решения о доминировании следует установить допустимый уровень доминирования (см. ниже).

Итак, в общем случае алгоритм адаптации вектора можно записать в виде

, (31)

где и формируется согласно изложенной выше процедуре.

Для оценки качества работы системы идентификации параметров области введем количественный критерий. Будем считать, что почти на всем интервале , если вероятность

, (32)

где — заданная величина.

Определение. Вектор

будем называть оптимальным, если он позволяет получить допустимую оценку области параметрического оценивания

и обеспечивает при этом максимальное значение показателя

Утверждение 2. Выход модели (22) с вектором , соответствующим оптимальной мажоритарной оценке области , имеет максимальную информационную мощность.

Алгоритм (31) относится к классу конечно-сходящихся. Его свойства следуют из следующей теоремы.

Теорема 1. Система идентификации (21), (22), (31) с допустимым вектором параметров будет иметь ограниченные траектории, если матрица в алгоритме (22) удовлетворяет неравенству

где , — минимальное и максимальное собственные числа матрицы . Оптимальное значение матрицы равно

где — оператор преобразования вектора в диагональную матрицу.

Аналогично ищется минорирующая оценка для области (21). В этом случае условие доминирования (23) записывается в виде

для почти ,

где — выход модели

(33)

с вектором параметров , настраиваемым с помощью алгоритма

Невязка вектора формируется согласно (26), (27) с учетом замечания. В (33) является диагональной матрицей с .

Пример. Рассмотрим объект (22) с вектором параметров

и действующим на выходе аддитивным ограниченным возмущением , . Вектор . Необходимо оценить область параметрических ограничений (28).

Рис. 7. Оценивание вектора F

На рис. 7 показаны результаты идентификации вектора для области с помощью системы (22), (26), (31). Здесь приведен также вектор параметров объекта (21). На основе метода наименьших квадратов получена следующая оценка вектора : . Векторы и определялись с помощью алгоритма (31) с и , где — единичная матрица. Соответствующие значения равны , , .

Рис. 8. Доминирование переменной при различных значениях
вектора

Рис. 9. Оценки выхода модели (22) в пространстве

Согласно утверждению 1 полученные оценки являются допустимыми. Для принятия окончательного решения находим показатели доминирования с помощью (32). Для каждой из найденных оценок они равны (рис. 8)

, , .