Модели и подходы к решению задачи

Процедура решения задачи основана на реализации двух этапов: идентификации решения и последующем определении как функции от . На классе динамических систем (15) выделение частного решения в условиях неопределенности является непростой задачей. Для разделения решений в (18) проще всего идентифицировать на классе статических моделей, то есть искать зависимость . Структура модели для оценивания во многом зависит от частотного спектра выхода . Кроме этого, модель должна компенсировать динамическое запаздывание, присущее системе (15).

Изложим метод решения задачи на примере линейной устойчивой системы (15) второго порядка с одним входом и выходом. Обозначим ; . Пусть , .

Предположим, что можно представить в виде

, (19)

где , , — множества, содержащие информацию о и .

На множестве будем оценивать частное решение системы (15). Так как , то для получения компоненты вектора воспользуемся операцией дифференцирования переменной . Обозначим .

Утверждение 1. Для идентификации на множестве можно применить модель

, (20)

где — матрица параметров модели, .

На основе модели (20) на множестве определяем оценку частного решения системы. Затем, зная , находим оценку общего решения

,

где .

После получения вектора строим отображение (информационный портрет) на фазовой плоскости и определяем тип точки состояния равновесия.

Если множество не удается представить в виде (19), то предварительную оценку типа особой точки системы (15) можно получить следующим образом. Найдем частую производную

.

Построим отображение , которое назовем F-характерис­тикой системы (15). Для линейной системы (15) вектор равен

. (21)

и в зависимости от спектра может содержать как экспоненты, так и вековые члены и синусоиды. Для удобства (21) будем называть F-системой.

Рис. 2. Результаты идентификации типа состояния равновесия для линейной стационарной динамической системы второго порядка

Рис. 3. F-характеристика линейной динамической системы второго порядка с

Для линейной системы (15) второго порядка с синусоидальным входом результаты идентификации показаны на рис. 2, 3. Применим разработанный выше подход к идентификации состояния равновесия. Рис. 2 отражает результаты идентификации типа особой точки системы, когда собственные числа . На рис. 2а показана реакция системы (15) на начальные условия при , а на рис. 2б приведен фазовый портрет (15). На фазовой плоскости (рис. 2в) представлена оценка свободного движения системы (15) с помощью предложенной выше процедуры идентификации общего решения. Из рисунка следует, что системе соответствует устойчивый узел.