Лазеры с накоплением инверсной населенности.

РАБОТА ЛАЗЕРОВ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ГЕНЕРАЦИИ. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ.

Непрерывный режим.

(12.1)   (12.2)

Непрерывный режим рассмотрим на примере широко используемых лазеров на гранате с неодимом. Он описывается системой уравнений (3.31)-(3.32) при условии обращения в нуль производных, стоящих в левых частях. Поскольку вероятность вынужденного перехода W₁₄ пропорциональна мощности излучения накачки Р_н, заменим ее на величину W₁₄ = k Р_н

Из уравнения (12.1) сразу получаем, что инверсная населенность в непрерывном режиме равна пороговому значению:

(12.3)

С учетом этого оценим величину Δ/N₀. Полагая r =10%, l = 5 cм, получаем β_Σ = 0,23 см^-1, . Учитывая, что β < β_Σ , находим Δ= Δ_пор=10¹⁸ см^-3 , т. е. инверсная населенность составляет менее 1% активных ионов неодима (выше говорилось, что при концентрации 1% N₀ = 1,38∙10²⁰ см^-3 . Таким образом можно с хорошей точностью считать, что Δ/N₀ <<1.

Полагая в (12.2) J=0, определим пороговую мощность накачки.

(12.4)

Из (12.4) следует, что пороговая мощность накачки линейно зависит от потерь на излучение (рисунок 12.1).

Получив такую зависимость экспериментально, можно определить величину потерь в активном элементе.

Величина α=σΔ,как указывалось выше, является показателем усиления. Подставляя это выражение в уравнение (12.2) и полагая J=0, получаем выражение для показателя усиления α₀ малого сигнала (ненасыщенного коэффициента усиления):

. (12.5)

Вводя понятие интенсивности насыщения J_нас= 1/στ, можно переписать (12.2) в виде зависимости для показателя усиления:

. (12.5)

Из этого выражения следует, что интенсивность насыщения J_нас – это интенсивность, при которой показатель усиления в 2 раза меньше показателя усиления малого сигнала. Правда, сразу необходимо оговориться, что рассматриваемая расчетная модель предполагает однородность уширения линии рабочего перехода.

Соотношение (12.5) часто используется в качестве исходного для расчета характеристик лазеров.

Удобным параметром для описания свойств лазера является величина превышения накачки над порогом М

. (12.6)

Подставляя Δ_п в уравнение (12.2), получаем выражение для интенсивности излучения J в непрерывном режиме:

. (12.7)

Считая, что генерация происходит по всему поперечному сечению активного элемента площадью S, получаем выражение для выходной мощности излучения

.(12.8)

Зависимость выходной мощности от мощности накачки представлена на рисунке 12.2.

	Рисунок 12.2. Зависимость выходной мощности излучения от мощности накачки при фиксированной величине βΣ и оптимальных значениях потерь на излучение.

При фиксированной величине потерь на излучение β_Σ эта зависимость линейна. В реальных лазерах условия генерации оказываются неодинаковыми по сечению активного элемента. По мере увеличения мощности накачки порог генерации вначале достигается для основной моды (вблизи оптической оси), и только затем излучение растекается по всему поперечному сечению накачки. Поэтому в реальных лазерах зависимость выходной мощности излучения при малых мощностях накачки выглядит так, как показано на рисунке 12.2 пунктирной линией. При больших мощностях излучения выходная мощность испытывает насыщение из-за перехода резонатора в неустойчивую область и связанного с этим роста дифракционных потерь. Исходя из этих соображений, правильнее понимать под S величину площади канала генерации, определяемого, как правило, резонатором лазера.

Из (12.8) можно получить выражения для полного и дифференциального к.п.д. лазера η:

, (12.9)

. (12.10)

Дифференцируя Р_Σпоβ_Σиприравнивая нулю производную, получаем значение потерь на излучениеβ_Σо, при котором достигается для данной мощности накачки максимальное значение выходной мощности Р_Σо:

(12.11)

. (12.12)

Используя (12.4) и (12.5), нетрудно показать, что отношение Φ = α₀/βравно отношению мощности накачки к пороговой мощности накачки при полностью отражающих зеркалах. Этот параметр также используется некоторыми авторами при описании лазеров.

Подставляя (12.11) в (12.8), получаем выражение для выходной мощности лазера при оптимальном отражении выходного зеркала:

. (12.13)

Эта зависимость также представлена на рисунке 12.2.

Важной характеристикой лазера является стабильность параметров выходного излучения. Одним из источников нестабильности являются изменения мощности накачки. Используя выражение (12.8), можно получить связь между изменениями мощности накачки и выходной мощности:

. (12.14)

Из этого соотношения видно, что вблизи порога генерации малые изменения мощности накачки могут вызвать большие нестабильности выходной мощности.

Лазеры с накоплением инверсной населенности.

Для ряда медицинских применений большой интерес представляют лазеры, излучающие короткие импульсы излучения. Результат их воздействия на биоткани может сильно отличаться от случая непрерывного излучения, что, с одной стороны, расширяет возможности применения лазеров; с другой — может вызвать непредвиденные осложнения.

Рассмотренные выше лазеры с импульсной накачкой не могут генерировать импульсы, длительность которых существенно меньше длительности импульса накачки. В самом деле, лазерное излучение возникает в них сразу же по достижении порогового значения накачки и продолжается до тех пор, пока превышение над порогом имеет место. Такой режим называют режимом свободной генерации. Для получения импульсов, длительность которых существенно меньше длительности импульсов накачки, необходимы специальные приемы.

Наиболее просто задача генерации коротких импульсов решается путем использования лазеров с модуляцией добротности резонатора, в которых различными способами осуществляется изменение во времени потерь (диссипативных или на излучение) в резонаторе. Устройства, осуществляющие изменение потерь, называют оптическими затворами. Существует несколько режимов модуляции добротности.

Первый режим ― с накоплением инверсной населенности ― рассмотрим подробнее, поскольку он наиболее распространен на практике.

Принцип работы лазера в этом режиме заключается в следующем.

В течение импульса накачки добротность резонатора поддерживается на низком уровне, то есть в него вводятся дополнительные потери, препятствующие возникновению генерации. В результате этого активные центры накапливаются на метастабильном уровне, обеспечивающем инверсию населенностей на рабочем переходе. Результирующая инверсная населенность может значительно превышать пороговое значение, соответствующее исходной (до введения потерь) добротности резонатора. Максимальное значение, которого может достигнуть инверсия в процессе накопления, определяется временем жизни верхнего рабочего уровня используемого для генерации перехода. По достижении этого максимума потери убирают (включают добротность). Благодаря значительному превышению инверсии над порогом генерация начинает развиваться при аномально большом коэффициенте усиления, быстро «съедает» накопленную инверсию и сосредотачивается в коротком импульсе. Общая энергия, сосредоточенная в импульсе выходного излучения, может и не достигать величин, соответствующих режиму свободной генерации, но за счет резкого уменьшения длительности возможно возрастание импульсной мощности на много порядков. Благодаря такому эффекту описанный режим работы лазера изначально именовался «режимом гигантских импульсов», но в дальнейшем это название не устоялось.

Для переключения добротности используются различные способы: вращение отражателя резонатора, специальные устройства-затворы, работающие на электро-, магнито- и акустооптических эффектах, а также так называемые пассивные затворы.

Для описания режима работы лазера с накоплением инверсной населенности воспользуемся уравнениями (12.1) - (12.2).

В связи с тем, что длительность импульса излучения лазера, работающего в таком режиме, мала, мы можем пренебречь в уравнениях членами, описывающими действие накачки, спонтанное излучение и релаксационные переходы. Накачку будем описывать, задавая начальное значение инверсной населенности Δ_о в момент включения добротности. В этих предположениях исходная система уравнений преобразуется к виду:

(12.15)   (12.16)

где β(t) включает в себя все потери резонатора, в том числе меняющиеся во времени при модуляции добротности.

Длительность переключения добротности Q обычно составляет величину 10^-8…10^-7 с. Тем не менее, для упрощения расчетов будем предполагать, что в момент времени t_o (рисунок 12.3) потери мгновенно уменьшаются до величины, соответствующей значению, определяющему пороговое значение инверсии населенности Δ_п . Позднее проверим правомочность такого приближения.

Несмотря на достаточно простой вид системы (12.15) – (12.16), она не имеет аналитического решения из-за своей нелинейности. Исследуем ее с целью упрощения за счет физических соображений.

Разделим почленно уравнения (12.15)-(12.16). Получим:

(12.17)

В (12.17) время можно рассматривать как параметр и интегрировать по инверсии. Интегрируя, находим:

, (12.18)

где J₀ и Δ₀― соответственно плотность потока шумовых фотонов и значение инверсной населенности в момент включения добротности, т.е. при t=0.

В момент достижения интенсивностью излучения максимального значения временная производная от J равна нулю, а инверсная населенность равна пороговому уровню. Подставляя Δ(t)= Δ_п и пренебрегая начальной интенсивностью излучения, получаем

. (12.19)

Максимальное значение выходной мощности лазера (пиковую мощность) получаем так же, как в непрерывном режиме.

, (12.20)

где V –объем активной среды.

После прохождения импульсом излучения своего максимального значения суммарные потери начинают преобладать над усилением, и интенсивность излучения начинает падать, при этом съем инверсии за счет вынужденного излучения продолжается. Таким образом, конечное значение инверсной населенности оказывается меньше порогового уровня, причем это падение тем больше, чем больше накопленное превышение. При больших начальных превышениях над порогом инверсная населенность «высвечивается» практически до нуля.

Полагая в (12.18) J(t)=0, получаем неявную формулу для конечного значения инверсной населенности Δ_к :

. (12.21)

Зависимость (12.21) представлена на рисунке 12.4.

Зная величину конечного значения инверсной населенности Δ_к, можно определить количество энергии, освободившейся в процессе генерации. Эта энергия разделится между поглощенной внутри резонатора и вышедшей в виде выходной энергии. Таким образом, энергия импульса выходного излучения будет равна:

. (12.22)

Для трехуровневых систем правые части выражений (12.18), (12.19), (12.20) и (12.22) надо разделить на 2.

Определим длительность импульса излучения как отношение его энергии к пиковой мощности.

. (12.23)

Подставляя в (12.23) выражения (12.20) и (12.22), можно получить зависимость, представленную графически на рисунке 12.5.

Увеличение длительности при малых превышениях над порогом происходит из-за того, что при малых значениях показателя усиления затягиваются все временные процессы. При больших превышениях над порогом длительность импульса растет из-за увеличения длительности спада импульса.

Из рисунка 12.5 видно, что при значениях в пределах Δ_п /Δ₀, заключенных в пределах от 0,2 до 0,5, которые достигаются в обычных условиях, для оценки длительности излучения можно воспользоваться простой формулой:

, (12.24)

справедливой и для трех-, и для четырехуровневых систем.

В начальный момент времени уровень интенсивности излучения, определяемый потоком шумовых фотонов мал, поэтому мало и произведение σΔ_oJ,поэтому можно пренебречь изменениями инверсной населенности Δ. Уравнение для интенсивности при этом окажется линейным, а сама интенсивность будет изменяться экспоненциально:

. (12.25)

То есть: вначале интенсивность излучения будет расти медленно (стадия медленного развития генерации). Это связано с тем, что излучение начинает развиваться из очень слабого сигнала, поэтому световая волна должна сделать много проходов через активную среду, прежде чем ее величина станет достаточной для быстрого высвечивания инверсии. Будем считать, что начало быстрого развития импульса излучения соответствует тому моменту, когда его интенсивность достигнет 10% своего максимального значения [1].

Полагая в (12.25) J = 0,1J_max, получим

(12.26)

Значение J₀, определяемое уровнем фотонного шума, обычно известно с точностью до одного-двух порядков. Однако, в связи с тем, что эта величина находится под логарифмом и кроме того, соотношение имеет порядок 10¹⁴…10¹⁷, их изменение мало сказывается на точности вычисления t_м. Из этих же соображений выражение в квадратных скобках можно приближенно считать равным единице. Таким образом, при оценках длительность медленной стадии развития импульса можно определить по приближенной формуле

. (12.27)

Для трехуровневых систем коэффициент в знаменателе можно принять равным 20 [1].

Выбирая для примера рубиновый лазер (n = 1,76) с активным элементом сечением S = 0,5 cм² и длиной l=5 см, длиной резонатора 50 см, потерями β=0,03 см^-1, коэффициентом отражения выходного зеркала r = 0,5, получим оценочные значения:

Р_Σmax ≈100МВт; U_Σ ≈1,8 Дж; τ≈18 нс; t_м =140 нс.

Отметим, что получены все необходимые для инженерных расчетов параметры лазера, хотя решение системы дифференциальных уравнений (12.15)-(12.16) в математическом смысле не проводилось.

Исходя из значения t_м, можно определить требования к скорости переключения добротности лазера, при которых справедливо приближение «мгновенного включения добротности».

Очевидно, что время включения добротности не должно превышать времени медленной стадии развития генерации. Если это условие не выполняется, то в момент возникновения генерации добротность не достигнет своего максимального значения, и эффективность преобразования энергии накачки в энергию выходного импульса уменьшится. Если к тому же время включения добротности существенно превысит время t_м, то инверсная населенность в активной среде может несколько раз превысить пороговое значение лазер будет генерировать два и большее количество импульсов излучения.

Рассмотрение этих эффектов может быть проведена на основе исходных уравнений (12.15) – (12.16), в которых должна быть использована конкретная функция β(t), описывающая процесс изменения потерь, вносимых затвором в резонатор.

Экспоненциальное возрастание интенсивности излучения согласно (12.25) в течение времени t_м может оказать влияние на выделение низшей, наиболее добротной, моды резонатора. Действительно, потери для двух самых добротных мод входят в экспоненту через Δ_п. Поэтому разница интенсивностей для них будет для них сильно увеличиваться со временем t_м. При этом целесообразно осуществлять включение добротности в две стадии. Вначале на время t_м «приоткрыть» затвор и, выдержав на этом уровне в течение медленной стадии, открыть затвор полностью непосредственно перед началом интенсивного высвечивания импульса.

Следует отметить, что в режиме с накоплением инверсии населенности в ряде активных сред негативную роль может сыграть большое значение поперечника вынужденного излучения. Дело в том, что потери, введенные на стадии накопления инверсной населенности, препятствуют только развитию генерации, тогда как спонтанные переходы продолжают осуществляться. Спонтанное излучение, проходя через активную среду, усиливается за счет вынужденных переходов (явление сверхизлучения) и снимает тем самым инверсную населенность. Таким образом, сверхизлучение препятствует накоплению инверсной населенности при закрытом затворе выше некоторого предельного уровня, определяемого величиной поперечника вынужденного излучения. Это, в свою очередь, приводит к ограничению уровня достижимой энергии импульса излучения, генерируемого лазером. Показательно, что на стеклах с неодимом, имеющих из-за уширения линии спонтанного излучения меньшее значение поперечника, достижимы гораздо бόльшие уровни энергии в импульсе излучения, чем на кристаллах.