Равнопромежуточные конические проекции
Рассмотрим сначала эту проекцию на шаре. Для равнопромежуточной проекции . Вот почему, приняв главный масштаб , на основании первого выражения (6.2) будем иметь
,
откуда
.
Интегрируя правую и левую части этого равенства, найдём
, (6.9)
где - - расстояние от экватора до параллели с широтой , -постоянная интегрирования. Здесь выражена в радианной мере.
Раскроем геометрический смысл постоянной интегрирования. Если точка находится на экваторе, т.е. , то
,
следовательно, — радиус изображений экватора.
Полюс в равнопромежуточной проекции представляет дугу окружности, которую называют полярной линией. Радиус полярной линии определяется из выражения
.
Масштаб по параллелям, принимая во внимание (6.9) будет равен
. (6.10)
Так как в конической проекции параллели пересекают меридианы под прямым углом, угол равен 90°, и направление осей эллипса искажений совпадают с направлениями меридиана и параллели, т.е. , .
Поэтому на основании (3.12) наибольшему искажению углов соответствуют направления
на глобусе, (6.11)
на карте.
Величина наибольшего искажения углов, исходя из (3.7), определяется из выражения
. (6.12)
Радиус параллели с наименьшим масштабом, принимая во внимание (6.6), равен
(6.13)
Радиус экватора будет соответственно равен
, (6.14)
где - выражено в радианной мере, коэффициент пропорциональности на основании (6.8)
. (6.15)
Таким образом, чтобы рассчитать коническую проекцию, необходимо задать широту параллели касания , где , вычислить по формуле (6.13) радиус этой параллели, найти радиус экватора, а из (6.9) радиусы всех остальных параллелей. Определить по (6.15) коэффициент пропорциональности и вычислить по формуле (4.8) долготы на карте. Величины искажений определятся из выражений (6.10) и (6.12).
Из приведённого выше следует, что в зависимости от выбора широты параллели касания мы можем получить множество равнопромежуточных конических проекций.
Рассмотрим теперь равнопромежуточную коническую проекцию на эллипсоиде.
Так как в равнопромежуточной проекции , радиус параллели касания, где , определяется из второго выражения (6.6)
(6.16)
где и - широта и радиус кривизны первого вертикала на параллели касания соответственно.
Радиус любой другой параллели с широтой будет равен
(6.17)
где - длина дуги меридиана от параллели касания до параллели с широтой , вычисляемая по формуле (2.18)
Коэффициент пропорциональности в соответствии с (6.8) будет равен
(6.18)
а увеличение масштаба по параллели согласно (6.4)
. (6.19)
Максимальное искажение углов определяется по формуле (6.12). В качестве примера рассмотрим расчет равнопромежуточной конической проекции на эллипсоиде для карты Украины в масштабе 1:1000000.
Широту параллели касания, как и в случае цилиндрических проекций примем .
Коэффициент пропорциональности .
Все остальные данные приведены в таблице 6.1
Таблица 6.1
44° | 619,821 | 1,0023 | 0° 08’ |
45° | 608,713 | 1,0013 | 0° 04’ |
46° | 597,598 | 1,0006 | 0° 02’ |
47° | 586,482 | 1,0001 | 0° |
48° | 575,364 | 1,0000 | 0° |
49° | 564,244 | 1,0002 | 0° |
50° | 553,122 | 1,0006 | 0° 02’ |
51° | 541,998 | 1,0014 | 0° 05’ |
52° | 530,872 | 1,0026 | 0° 09’ |
Как видим, искажение расстояний по параллели в этой проекции не превышает для всей территории Украины
2,3 м/км в южных района;
2,6 м/км в северных районах.
Наибольшие искажения углов составляет не более 9 минут, а потому при решении многих картометрических задач могут рассматриваться как пренебрегаемо малые.
Наибольшие искажения площадей составляет:
23 м2 /га на юге;
26 м2/га на севере.
Чтобы приведенные в таблице 6.1 искажения сделать ещё меньше имеет смысл вместо проекции на касательный конус использовать проекцию на секущий конус, как это показано на рис.4.8.
В этом случае на первый план выдвигается задача правильного выбора параллелей сечения. Существует несколько способов такого выбора. Рассмотрим один из них.
Если обозначить через и , широты крайних параллелей изображаемой территории, то широты параллелей сечения определятся по формулам
(6.20)
где: Т — коэффициент зависящий от конфигурации картографируемой территории, который принимает следующие значения:
Рис.6.2
1. Если территория имеет небольшое протяжение по широте (рис. 6.2а), .
2.Для территории, имеющей форму прямоугольника или параллелограмма (рис.6.2 б), .
З. Если изображаемая территория имеет форму круга, эллипса или какой-либо другой криволинейной фигуры (рис.6.2в), .
4.Если территория имеет форму, близкую к четырёхугольнику или ромбу (рис.6.2.г), .
Получаемые по формулам (6.20) значения округляют до целого градуса или половины градуса.
Если говорить о территории Украины, то она имеет протяжение по широте 8°, а по долготе 19°. Вот почему для неё наиболее подходящим будет вариант, представленный на рис.7.2а. Тогда на основании (6.20) имеем
,
.
Рассмотрим теперь равнопромежуточную секущую коническую проекцию на эллипсоиде.
Из выражения (6.2) имеем
Обозначив ,
где: - приращение длины дуги меридиана, найдём
Откуда интегрированием левой и правой части получим
(6.21)
где - длина дуги меридиана, вычисляемая по формуле (2.8).
В соответствии с (6.19), имея в виду, что на параллелях сечения , подставляя вместо с его значение из (6.21), можно получить
. (6.22)
Обозначив в (6.22)
(6.23)
где: - радиусы параллелей сечения, решим уравнение относительно и . В результате получим
(6.24)
. (6.25)
Рассчитаем параметры этой проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000.
,
,
,
,
,
.
Все остальные данные приведены в таблице 6.2 .
44° | 619,821 | 1,0023 | 0° 08’ | ||
45° | 608,713 | 1,0013 | 0° 04’ | ||
46° | 597,598 | 1,0006 | 0° 02’ | ||
47° | 586,482 | 1,0001 | 0° | ||
48° | 575,364 | 1,0000 | 0° | ||
49° | 564,244 | 1,0002 | 0° | ||
50° | 553,122 | 1,0006 | 0° 02’ | ||
51° | 541,998 | 1,0014 | 0° 05’ | ||
52° | 530,872 | 1,0026 | 0° 09’ | ||
Таблица 6.2
Сравнивая данные, приведённые в таблицах 6.1 и 6.2, мы видим, что проекция на секущий конус позволяет уменьшить искажения длин линий по параллели, площадей и углов почти в два раза.
Наибольшее искажение на параллели составляет 1,4 м/км для расстояний;
14 м2/га для площадей,
0° 05’ для углов.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 103;