Глава 4 Оценка динамических свойств адаптивных систем

4.1 Критерии оптимизации протекания динамических процессов

В общем случае под оптимальным управлением понимается такое управление, при котором обеспечивается наилучшее решение задачи, поставленной перед системой управления, например, достижение максимального быстродействия, минимального расхода топлива, максимальной мощности агрегата, минимума расхода исходного материала и т.п., и всё это при выполнении заданных ограничений [1,2,3,21 и др.]. Адаптивные системы (СНС) предназначены для оптимального управления в изменяющихся условиях работы.

В широком круге задач используется критерий минимума суммы квадратов динамической ошибки ε_д(t) и среднеквадратической ε_ск(t), взятой с весом λ(t) в каждый момент времени [22]

Е² (t)= ε²_д (t) +λ(t) ε²_ск(t)=min. (4.1)

Этот критерий требует минимума мгновенного значения показателя цели

Е (t) в каждый момент времени.

Частными случаями критерия (4.1) считают следующие критерии:

- минимум среднеквадратической ошибки и каждый момент времени при заданном законе изменения динамической ошибки при t =0 ε_д0(t),т.е.

ε²_ск(t)= min при ε_д(t) = ε_д0(t); (4.2)

- минимум квадрата динамической ошибки при пропорциональной связи динамической и среднеквадратической ошибки

ε²_д (t) = min при ε²_д (t) = α²ε²_ск(t), (4.3)

где α – известный коэффициент пропорциональности.

Статистический критерий первичной оптимизации может заключаться в обеспечении экстремума интегрального показателя цели управления , например:

T_{i + 1}

∫ [ε²_д (t) +λ(t) ε²_ск(t)]dt = min, (4.4)

T_i

и сочетать требования, накладываемые на различные переменные

_

u ²_сл (t) = min при ε_д(t) = ε_д0(t) (4.5)

и

T_{i +1}

∫ u ²_сл (t) dt = min, при ε_д(T_i+1) = ε_д0, (4.6)

T_i

где u(t)-некоторая промежуточная переменная системы управления.

В случаях, когда на вход системы действует детерминированный сигнал в виде функции времени, критерий первичной оптимизации может быть записан в виде

Т Т

∫ ε²(t) dt = min при ∫ (x’’)² (t) = C, (4.7)

0 0

где x’’ - вторая производная выходной переменной системы;

ε – ошибка системы.

Кроме того, критериями первичной оптимизации по внешним воздействиям могут быть условие максимума быстродействия , условие инвариантности к внешним возмущениям и др.

Приведенные виды критериев первичной оптимизации характерны для систем, самонастраивающихся по внешним воздействиям и по динамическим характеристикам объекта управления. Для этого типа систем условие стабильности динамических свойств системы сводится к минимизации среднеквадратического отклонения выходной координаты системы х от выходной координаты её желаемой модели х_м:

t

∫ [x(τ) - х_м)] ²dτ = min . (4.8)

0

4.2 Управление по оптимальной траектории изменения выходного

параметра

Рассмотрим построение оптимального процесса управления без перерегулирования с максимальным быстродействием при заданных ограничениях [21]. Обозначим регулируемую величину через y,

предписанное значение – через y_p. Обе величины являются функциями времени. Задача СНС состоит в обеспечении равенства y_p = y в любой момент времени. В реальных условиях это условие всегда выполняется с некоторой погрешностью Δy = y_p – y. Величина Δy может быть представлена в виде двух составляющих

Δy = Δy_с + Δy_д,

где Δy_с - статическая ошибка;

Δy_{д ­} - динамическая ошибка, которая исчезает по окончании переходного процесса.

а б

Рисунок 4.1 К определению оптимального процесса

Для простоты в дальнейшем будем рассматривать идеальный переходный процесс, при котором Δy =0 и y=y_p (рис. 4.1а). Точка «а» характеризует окончание переходного процесса и в дальнейшем кривые у и у_р сливаются в одну общую кривую.

Отсюда следует, что в точке «а» должно выполняться также условие равенства всех производных, т.е.

dⁿy/dtⁿ = dⁿy_p /dtⁿ при t = t_p.

Здесь n = 1, 2, 3…(m-1), где m – порядок высшей ограниченной производной.

Рассмотрим некоторые частные случаи. Предположим, что предписанное значение y_p представляет собой функцию времени y_p(t) (рис. 4.1б). Первая производная (скорость) ограничена по модулю, т.е. должно выполняться неравенство

│dy/dt│≤ M,

где М – некоторая заданная постоянная величина.

Очевидно, что процесс будет протекать наиболее быстро при выполнении условия dy/dt =y′= ± M , отсюда

y=± M t +А, (4.9)

где А – постоянная величина, определяемая по заданным начальным условиям переходного процесса. В рассматриваемом случае при y(0)=0 имеет место А=0 (рис.4.1б). На этом рисунке переходный процесс по траектории «0а» будет оптимальным, так как тангенс её угла наклона (т.е. y′) равен М. Величину t_r можно определить , исходя из того, что при t = t_r у=а. Тогда t_r =а/М.

Необходимо отметить, что другие траектории переходного процесса оптимальными не являются. При движении процесса по траектории «0b» время регулирования меньше оптимального, но не выполняется условие y′≤ M, при движении по траектории «0c» время регулирования будет больше оптимального при y ′˂ M.

Рассмотрим дополнительно случай, когда заданное значение y_p остаётся постоянным, а первая и вторая производные ограничиваются по модулю, т.е.

y_p = Const; │dy/dt│˂ N; │d²y/dt²│˂M.

Ограничение второй производной по модулю означает, по сути дела, ограничение по затрачиваемому усилию (2 – й закон Ньютона). В данном случае оптимальный переходный процесс разбивается на три периода:

- период разгона с ускорением y′’=M до достижения допустимой максимальной скорости y′= N (рис. 4.2, отрезок траектории 0S1);

- период движения с постоянной скоростью y′= N (рис. 4.2, отрезок траектории S1S2);

- период замедления с ускорением y′’=-M, (рис. 4.2, отрезок траектории S2a).

Отрезок 0S1 является отрезком параболы, которая определяется уравнением y′’=M . Уравнение параболы, которое является решением приведенного дифференциального уравнения после двукратного интегрирования, записывается в виде

y_os1= M t²/2 + A₁t + B₁ . (4.10)

На отрезке S1S2 движение происходит с постоянной скоростью. Уравнение движения запишется после однократного интегрирования в виде

y_s1s2= Nt + A_c. (4.11)

На отрезке S2а движение во избежание перерегулирования должно происходить с замедлением. Уравнение движения на этом участке запишется в виде

y_s1s2 = - M t² / 2 + A₂t + B₂ . (4.12)

Рисунок 4.2 Оптимальный переходный процесс при ограничении

первой и второй производных

Все постоянные интегрирования А₁ , А₂ , А_с , В₁ , В₂ , а также отрезки времени t₁, t₂, t₃ определяются из уравнений, фиксирующих начальные и конечные условия переходного процесса, а также уравнений, устанавливающих равенство ординат и первых производных в точках S1 и S2 прямой S1S2 и парабол 0S1 с одной стороны и S2а – с другой.

В случае, когда заданное значение у остаётся постоянным, а ограничивается только величина второй производной, переходный процесс описывается двумя параболами

y₁’’=+M (4.13)

и y₂’’= - M. (4.14)

Вид переходного процесса аналогичен показанному на рис. 4.2, но отсутствует участок S1S2, на котором процесс идёт с постоянной скоростью (первая производная постоянна по величине). Решение уравнений (4.13) и (4.14) запишется в виде

y₁ = Mt² / 2 + A₁t + B₁, (4.15)

и y₂ = - Mt² /2 + A₂ + B₂ . (4.16)

Время регулирования и постоянные интегрирования определяются из начальных и конечных значений переходного процесса , а также из равенства ординат и первых производных в точке S ( Эта точка получается, если совместить точки S1 и S2 на рис. 4.2, так как отсутствует участок переходного процесса с постоянной скоростью).

Опуская вычисления, приведём полученные значения неизвестных:

____

А₁ = 0; А₂ = Мt_r ; B₁ = 0; B₂ = a – Mt_r² /2; t_r = 2 √ a/M . (4.17)

При выполнении этих условий переходный процесс при ограничении вторых производных при разгоне и торможении будет оптимальным.

4.3 Первичная оптимизация аналитических самонастраивающихся

систем

Основной задачей первичной оптимизации является стабилизация динамических характеристиксистемы. Задача сводится к формированию корректирующего фильтра. Рассмотрим решение этой задачи на конкретном примере. Пусть на вход фильтра в момент времени t =0 поступает полезный сигнал g(t) и аддитивная помеха n( t ). Примем, что в общем случае помеха являетсястационарным белым шумом с уровнем спектральной плотности N ²_. Уровень спектральной плотности может быть и неизвестен. Примем также,

что полезный сигнал является непрерывной ограниченной функцией времени на интервале 0- t, заданной аналитическим выражениемс неизвестными значениями параметров, например,

g(t) = atⁿ, (4.18)

где a, n – неизвестные величины, причём │а│˂ ∞; a≠0 , 0 ≤ n ˂ ∞.

Полезный сигнал может быть детерминированным, может быть и случайным.

Будем полагать, что идеальный выходной сигнал s(t)=g(t), ограничения отсутствуют, структура фильтра заранее неизвестна.

Критерий первичной оптимизации есть минимум среднеквадратической ошибки ε в каждый момент времени при нулевой динамической ошибке ε_0д (t)= 0 . Общий критерий имеет вид ε²_ск (t) =min.

Поскольку критерий первичной оптимизации состоит в минимизации среднеквадратической ошибки в каждый момент времени, то синтез системы необходимо проводить в классе нестационарных систем. Фильтр в этом случае описывается импульсной переходной функцией k (t, τ).

Определим вначале для оптимальной модели фильтра функцию k (t, τ). Она определяется в результате вычисления условного экстремума среднеквадратической ошибки, т.е.

t

ε ²_ck (t)=N² ∫ k² (t, τ)dτ = min (4.19)

0

при ограничении

t

ε_д (t)= g(t) - ∫ k (t, τ) g(t) dτ = 0 _. (4.20)

0

Решая (4.19) с учётом (4.20) можно определить импульсную переходную функцию k (t, τ). В [22] приводится выражение для этой функции

t

k (t, τ)= g(t)g(τ)/ ∫ g(τ) dτ. (4.21)

0

Выражение (4.21) может быть использовано затем для синтеза оптимального фильтра в системе, предусматривающей первичную оптимизацию. При этом ошибки ε_ck(t) и ε_д (t) должны быть заданы.

4.4 Системы, основанные на непосредственном интегрировании

дифференциальных уравнений

Применение вычислительной техники позволяет непосредственно определять параметры объекта регулирования. Измерение текущего значения коэффициента усиления можно выполнить путём простого интегрирования. Предположим, что уравнение движения объекта записано в виде

(Tp + 1)x = ky. (4.22)

Проинтегрируем (4.22) на интервале (0,t ).

t t t

T ∫ (d x/dt )dt + ∫ x(t)dt = k ∫ y(t) dt ,

0 0 0

или

t t

T [ x(t) – x (0)] + ∫ x(t)dt = k ∫ y(t) dt .

0 0

Учитывая, что T величина известная , получим

t t

k = {T [ x(t) – x (0)] + ∫ x(t)dt} / ∫ y(t) dt . (4.23)

0 0

Из формулы (4.23) видно, что для реализации устройства для определения коэффициента усиления потребуется всего два интегрирующих звена, сумматор и делительное устройство. Сложнее решается вопрос для систем и объектов управления, обладающих более сложными динамическими характеристиками [2]. Для упрощения аппроксимируют передаточную функцию передаточной функцией более низкого порядка, например, звеном первого порядка, у которого коэффициенты k и T выражаются через коэффициенты исходной передаточной функции. Для одной частоты гармонического колебания это совпадение будет полным.

Условия аппроксимации будут записаны в следующем виде

k(ω) = ( B²₀ + B²₁ ω² ) / ( A₀B₀ + A₁B₁ ω² ) ,

Т(ω) = (A₁B₀ – A₀B₁) / (A₀B₀ + A₁B₁ ω² ),

где B₀ + j B₁ = ( b_m p^m + b_{m -1} p^{m -1} + …+ b₁p + b₀) _{p= jω} =N(p)_{p= jω} ,

A₀ + j A₁ = ( a_npⁿ + a_n-1 p^n-1 +…+ a₁p + a­₀) _{p = jω} = M(p)_{p= jω} .

Эти условия найдены путём сравнения передаточных функций

k /(Тр+1) и (B₀ + j B₁) / ( A₀ + j A₁ ) = N(p)_{p= jω} / M(p)_{p= jω} .

Таким образом, A₀ , A₁, B₀ , B₁ - суть функции коэффициентов a_i , b_i и частоты ω в чётной степени.

4.5 Комбинированные СНС с оценкой динамических и статических

свойств

Статические и динамические режимы не совместимы во времени. Они сменяют друг друга, но не совпадают. Поэтому создать СНС с непрерывным замером статических и динамических характеристик в одной системе нельзя. Эту задачу можно решить для системы с помощью её адекватной модели [2]. Их характеристики должны быть сдвинуты на время переходного процесса. Можно также использовать для этой цели запоминающее устройство, которое будет предварительно фиксировать динамические и статические характеристики одной и той же системы.

Существует также способ, при котором контролируются не сами характеристики, а параметры, наиболее существенно сказывающиеся на статике и динамике. В этом случае главной задачей при разработке единого критерия самонастройки, учитывающего статику и динамику, является выделение параметров, влияющих на эти состояния системы.

На статику системы основное влияние оказывает коэффициент усиления системы. Изменение коэффициента усиления влияет также и на динамику системы. Поэтому одновременно с коэффициентом усиления нужно также одновременно измерять и другой параметр, характеризующий динамические свойства. Таким параметром является относительная постоянная времени

α = Т_i / Т_об,

где Т_i - постоянная времени одного из звеньев регулятора, а Т_об – постоянная времени объекта. Вычисляя и измеряя k и α с помощью ЭВМ 5 (рис. 4.3) можно создать СНС, косвенно учитывающую изменение как статических свойств, так и динамических свойств системы.

Рисунок 4.3 Структурная схема комбинированной системы

На рис. 4.3 приняты следующие обозначения:

1– регулирование коэффициента усиления k;

2, 3 – регулирование постоянных времени T₁ и T₂ регулятора при заданной

функции управления y(t)=a₀+a₁t+a₂t² ;

4 – постоянная времени объекта Т_об;

5 – ЭВМ;

6 – исполнительный механизм.

4.6 Определение переходных процессов в экстремальной системе

Рассмотрим задачу определения переходного процесса при смещении системы в момент нахождения её на одном из участков экстремальной характеристики [19].

На рис. 4.4 приведена структурная схема рассматриваемой ЭС. На рисунке приняты следующие обозначения:

Рисунок 4.4 Структурная схема экстремальной системы

1– объект;

2 – экстремальная характеристика;

3 – логический элемент;

4 – исполнительный элемент.

Уравнение процесса в исполнительном элементе (блок 4):

dμ / dt = k₁u;

Уравнение процесса в линейной части объекта регулирования (блок 1):

T(dx / dt) + x = k₂μ;

Уравнение экстремальной характеристики (блок 2):

φ = - sx² ;

Уравнение логического элемента (блок 3):

u = (d φ / dt) sign (dμ / dt ).

В этих уравнениях:

x- угловая скорость, 1/ сек;

u- напряжение, В;

φ- показатель экстремума, В·сек;

μ- перемещение регулирующего органа, мм;

k₁- коэффициент передачи исполнительного элемента, мм / В·сек;

₌- коэффициент передачи объекта, 1 / сек·мм;

s- крутизна экстремальной характеристики, В·сек² ;

T- постоянная времени объекта, сек.

В задаче необходимо определить переходный процесс в системе, которая предварительно смещена в точку М и имеет параметры: T = 0.5 сек; s = 2 В·сек² ; k₁k₂ = 10 1/ В·сек² ;

х₀ = -1 1/сек; (dx / dt) _t=0 =0.

После исключения промежуточных переменных получим

T(d²x / dt²) + dx / dt +2k₁k₂sx =0 (принято, что dμ / dt >0).

Подставив численные значения, имеем

0.5(d²x / dt²) + dx / dt +40х=0.

Корни характеристического уравнения будут равны

р_1,2= - 1 ± j8.9 (1/сек).

В общем виде им соответствует решение [23]

x=e^-1t(A₁cos8.9t) +A₂cos8.9t).

Используя начальные условия, находим постоянные интегрирования

А₁ = - 1 и А₂ = - 1/8.9 = - 0.1124 и окончательно

x= - e^-1t(cos8.9t) +0.1124 cos8.9t).