Понятие пространства состояний

Пространство состояний, наблюдаемость, идентифицируемость, управляемость, адаптируемость

Понятие пространства состояний

Понятие состояния физической системы реального процесса не поддается общему определению, поскольку для каждого конкретного реального процесса или системы оно различно, а общие определения сводятся к синонимам.

В теории автоматического управления мы имеем дело с математическими моделями объектов, процессов и систем. Состояние таких моделей объектов, процессов и систем поддается общему определению в математических терминах [1].

Математическая модель отражает в той или иной мере свойства реальной системы, в том числе ограничения, существующие в реальных условиях. Состояние математической модели объекта, системы или процесса может быть представлено в виде элемента х множества возможных состояний Х. При этом определяющим является обстоятельство, чтобы элемент x Х характеризовал рассматриваемое состояние объекта, системы или процесса полностью и однозначно. Множество Х можно рассматривать как пространство состояний объекта, системы или процесса. В математике пространством называют множество, в котором задано соотношение между любыми его элементами, характеризующими «близость» между ними.

Так, метрическим пространством называется множество Х, в котором задано расстояние между двумя элементами x Х, y Х в виде действительной функции ρ(x,y), удовлетворяющей условиям:

1. ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x = y,

2. ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксиома симметрии),

3. ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(x,z) (аксиома треугольника). (1.1)

Пространство состояний в теории управления используется для исследования устойчивости, оптимизации и т.п. Во всех этих случаях необходимо введение метрики, то есть определение расстояния в этом пространстве. Для определения устойчивости невозмущенного состояния естественно рассматривать расстояния между невозмущенным и возмущенным состояниями. При оптимизации необходимо введение критерия, который, как правило, включает в себя расстояние в метрическом пространстве.

Пространством состояний называется метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой системы (процесса).

Пространство состояний применяется как при описании автономных систем и процессов, не взаимодействующих с другими процессами и системами, в частности, с внешней средой, так и для систем, и процессов, в которых такое взаимодействие существует. В последнем случае необходимо введение дополнительных множеств, таких, как множество управлений с элементами u U, множество возмущающих воздействий с элементами w W. Эти множества также могут представлять собой метрические пространства с различными метриками.

Кроме того, каждая система, рассматриваемая в пространстве состояний x Х, обычно может быть подразделена на подсистемы, как правило, взаимосвязанные. Пространство Х может быть в этом случае представлено в виде суммы субпространств состояний, обычно взаимосвязанных и являющихся по существу сечениями пространства Х. Состояние системы полностью определяет лишь совокупность элементов всех указанных субпространств Х₍₁₎, Х₍₂₎ ,…, Х_(q), т. е. элемент полного пространства состояний: x Х = Х₍₁₎, U Х₍₂₎,… U Х_(q).

Элементами пространства состояний могут быть конечные упорядоченные совокупности действительных чисел (конечномерные векторы). Обозначаются они либо в виде строки, либо в виде вектора-столбца (матрицы-столбца)

х = (х ₁ , х₂ ,…, х _n), х = [x₁ x₂ …x_n ]^T , (1.2)

где [x₁ ,x₂ ,…, x _n ]^T – матрица состояний, «Т» - знак

транспонирования.

Элемент (1.2) называется конечномерным вектором состояния. Элементами состояния могут быть также и бесконечномерные векторы состояния. Элементами пространства состояний могут быть также и функции некоторого числа аргументов (помимо времени).

При рассмотрении движения системы или процесса в пространстве состояний вектор состояния является функцией непрерывного или дискретного времени. Для случая непрерывного времени и конечномерного вектора состояния во все моменты времени означает задание некоторой функции

х = (х ₁(t) , х₂(t) ,…, х _n(t)) = [x₁(t) x₂(t) …x _n(t) ]^T (1.3)

Дискретное время представляет собой последовательность моментов времени

t ₀ , t₁,…, t_к-1 , t_к …(1.4)

Индекс к может при необходимости принимать и отрицательные значения. Вектор состояния в момент времени t_к в общем случае обозначается

х (t_к ) или x[к]. (1.5)

В наиболее типичном случае интервал последовательности (1.4) постоянен, т.е., t_к - t_к-1 = τ = сonst и одинаков для всех компонент вектора состояния. В этом случае при t ₀ =0 величина t _к в (1.5) равна к τ. Возможна работа с разными интервалами повторения для различных групп переменных. В этом случае структура пространства состояний с дискретным временем усложняется. Пространство состояний подразделяется на субпространства. Бывают случаи, когда последовательность (1.4) является случайной.

Помимо дискретности по времени может иметь место и дискретность по уровню (квантование). Это особенно характерно для систем управления с микропроцессорами, имеющими небольшое число разрядов. Всё это определяет большое разнообразие вариантов пространства состояний [1].

Ниже используется, в основном, декартова система координат. Использовании других систем координат будет оговариваться отдельно. Отдельно также будет оговариваться, какое время (дискретное или непрерывное) используется при анализе систем и процессов или их моделей.