Типы плоских волн. Распространение возмущений в неограниченной среде.

Уравнения движения упругой среды в перемещениях можно записать в виде.

где – соответственно плотность среды и параметры Ламе.

Вводя следующие безразмерные параметры

где – скорости распространения упругих волн.

Тогда уравнения равновесия можно записать в следующем виде

При этом штрихи в безразмерных параметрах будем опускать

Рассмотрим выписанные уравнения для случая, когда все величины зависят только от одной координаты, для определенности пусть будет . Тогда уравнения равновесия распадаются на три независимых уравнения

Как видим, каждое уравнение представляет собой уравнение колебаний струны. Решением такого уравнения при отсутствии массовых сил является суперпозиция прямой и обратной волн

Первое из описанных уравнений описывает так называемые продольные волны, а второе поперечные.

Распространение возмущений в бесконечной упругой среде.Как видно из уравнений для случая, когда все величины зависят от одной координаты, поперечные и продольные волны распространяются независимо. Поэтому для их изучения рассмотри следующую задачу.

Применим к этому уравнению поочередно преобразования Фурье и Лапласа тогда получаем

Теперь, если рассмотреть вспомогательную задачу:

Тогда легко увидеть, что

Тогда можем последовательно записать

Таким образом, для решения исходной задачи необходимо решить вспомогательную задачу.

Имеем

Тогда ( )

Тогда

Тогда имеем,

И, таким образом, получаем

Задания.

Найти НДС упругой среды при