Общая схема исследования функций и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков реко­мендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность — нечетность.

3. Исследовать периодичность функции.

4. Исследовать на непрерывность и поведение функции на концах интервалов определения. Найти вертикальные асимптоты..

5. Исследовать поведение функции при х стремящемся к бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

7. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

9 .Построить график.

10 .Найти область изменения функции.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример 4.24.Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения т.е. .

2. Так как то функция ни четная ни нечетная, т. е. общего вида (график функции несимметричен относительно оси ординат и начала координат).

3. Функция непериодичная.

4. — вертикальная асимптота, так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е.

.

5. Наклонные асимптоты находим в виде , где

Прямая — наклонная асимптота.

6. Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Знаки производной изображены на рисунке.

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Таким образом, функция вогнута (выпукла вверх) на интегралах (-∞,-1) и (-1,0] и выпукла (выпукла вниз) на интервале[0,∞).

8. f(0)=0. Уравнение f(0)=0 имеет единственное решение х=0, т. е. График функции пересекает оси в начале координат (0,0).

x		-3		-1
	+				+		+
	-	-	-	Ø	-		+
y
		max		Не сущ.		Точка перегиба

9. График функции изображен на чертеже.

10. Е(у)=(-∞,+∞).