ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛАВЕ 4
Пример 5.1.Найдем интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и применим непосредственное интегрирование
Пример 5.2.Найдем интеграл
Решение. Так как производная , то внесем под знак дифференциала
Пример 5.3.Найдем интеграл
Решение. Так же как и в предыдущем примере, выражение можно записать как поэтому
Пример 5.4.Найдем интеграл
Решение. Здесь поэтому данный интеграл представляем в виде:
.
Внеся под знак дифференциала, получим
т. е. переменной интегрирования является 3соs х.
Следовательно, интеграл берется по формуле VI:
Пример 5.5.Найдем интеграл
Решение. Произведем подстановку
, т. е. .
Найдем дифференциал
Отсюда получаем
Пример 5.6.Найдем интеграл
Решение. Произведем подстановку тогда .
Выразим и найдем
Подставив в исходный интеграл, получим
Применив формулу XVIII, получим
Подставив в исходный интеграл, получим Найдем интеграл
Решение. Произведем подстановку ; тогда — т. е. .
Подставив в исходный интеграл, получим
(использовали формулу XX).
Пример 5.7.Найдем интеграл
Решение. Применим подстановку ; тогда , , тогда
(см. формулу XXI).
Итак,
Пример 5.8. Найдем интеграл
Решение. Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат
.
Произведем подстановку ; тогда .
Отсюда
,
(см. формулу XVIII).
Таким образом,
Пример 5.9. Найдем интеграл
Решение. Положим , тогда и
(применили формулу ХIX).
Итак,
Пример 5.10. Найдем интеграл
Решение.
Пусть , , тогда , .
По формуле интегрирования по частям находим
Пример 5.11. Найдем интеграл
Решение. Положим , ; тогда , .
Применяем формулу интегрирования по частям:
Мы добились понижения степени х на единицу.
Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям.
Полагаем , ; тогда ,
Пример 5.12. Найдем интеграл
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям.
Пусть , ; тогда , .
Следовательно,
Еще раз проинтегрируем по частям.
Приняв , , откуда , .
Получаем
т. е.
Применив дважды формулу интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I. Из этого уравнения находим
т. е.
Такого вида интегралы носят название «круговые».
Пример 5.13. Найдем интеграл если
Решение. Положим , , откуда , .
Следовательно,
или
Выразим данный интеграл из полученного равенства
Пример 5.14. Найдем интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем
Пример 5.15. Найдем интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем
Пример 5.16. Найдем интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции
В первом интеграле произведем замену , , а во втором интеграле положим , .
Отсюда
Возвращаясь к старой переменной, получаем
Пример 5.17. Найдем интеграл
Решение. Дан интеграл от иррациональной функции 1-го вида.
Здесь поэтому .
Применим подставку ; тогда и, следовательно,
Возвратимся к старой переменной. Так как , то
Пример 5.18. Найдем интеграл .
Решение. Данный интеграл от иррациональной функции 2-го вида. Преобразуем подкоренное выражение и внесем под знак дифференциала:
Пример 5.19. Найдем интеграл .
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения:
Пример 5.20. Найдем интеграл .
Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции.
Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем .
Отсюда .
Таким образом,
.
Следовательно,
.
Пример 5.21. Найдем интеграл .
Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции. Применим формулу (3)
.
Пример 5.22. Найдем интеграл
Решение. Применим к произведению формулу (2):
Снова используя ту же формулу, находим
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 141;