Оценка параметров распределения Пирсона Ш типа

Имеем выборку значений ряда X, подчиняющегося закону гамма-распределения. Вероятность i-го значения X оценивается по формуле (4.51). Подставляя эту формулу в формулу (5.20), получаем формулу функции правдоподобия

Откуда, с учетом того, что (см. гл.4), следует

(5.31)

Прологарифмируем это выражение:

(5.32)

Отсюда можно найти значения оценок параметров т_х и D_x для различных соотношений C_s и C_v. Рассмотрим, например, случай, когда C_s = 2 C_v. В этом случае (см. гл. 4 )

(5.33)

Найдем оценку коэффициента вариации

(5.34)

Отсюда

(5.35)

Введем обозначение

(5.36)

Тогда

(5.37)

т. е. α, а следовательно, и C_v могут быть установлены по сумме логарифмов исходного ряда. Можно показать, что и при других соотношениях C_s и С_v C_v = f(λ). Зависимость между λ и С_v обычно представляется в виде графика или таблицы C_v = f(λ.) (см., например, работу [39], прилож. 1) в десятичных логарифмах, позволяющих с помощью простых вычислений находить оценку C_v при практических расчетах.

В явном виде коэффициент изменчивости C_v выражается через X следующим соотношением, указанным К. А. Семендяевым [9]:

(5.38)

где λ задают в натуральных логарифмах.

Оценка C_v и C_s методом приближенного наибольшего правдоподобия для распределения Крицкого-Менкеля производится по специальным номограммам, в качестве входа в которые используются значения λ₂ и λ₃, где λ₂ определяется по формуле (5.54), а λ₃ по формуле

(5.39)

Номограммы даны в работе [39], прилож. 1. Схема построения и соответствующие выводы представлены в монографии Е. Г. Блохинова [9].