НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
С проблемой нахождения собственных значений встречаются во многих научно-технических задачах. Например, в теории колебаний собственные значения – это собственные частоты колебаний системы, в спектроскопии по собственным значениям определяют компоненты газов, в вычислительной математике некоторые исследования требуют нахождения собственных значений и т.д.
Все эти конкретные проблемы сводятся к одной и той же задаче вычисления собственных чисел квадратной матрицы с действительными или комплексными элементами.
Рассмотрим квадратную матрицу A = {aij}, i, j = 1…n. Если эта матрица переводит вектор х¹ 0 в коллинеарный ему вектор lх:
Ах = lх, (4.18)
то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а l – собственным числом матрицы А, соответствующим данному собственному вектору х.
Таким образом, собственные векторы матрицы А являются ненулевыми решениями матричного уравнения (4.18), или
Сх = 0, (4.19)
где матрица С = (А–lЕ) называется характеристической матрицей данной матрицы А:
.
Система (4.19) имеет ненулевые решения лишь тогда, когда определитель матрицы С равен нулю: det (A–lE) = 0.
Раскрывая этот определитель, получаем полином n-ой степени относительно l с единичным коэффициентом при старшей степени – характеристический полином
. (4.20)
Таким образом, процесс нахождения собственных значений матрицы можно свести к следующим действиям:
1) построение характеристического полинома, то есть нахождение его коэффициентов p1, …, pn;
2) нахождение n корней характеристического полинома lj,
j = 1,.., n, которые составляют так называемый спектр матрицы.
Если ранг матрицы С равен r (r<n), то существует k=n–r линейно независимых собственных векторов x(1,j), x(2,j),…, x(k,j), отвечающих корню lj.
Можно доказать, что число линейно независимых собственных векторов, отвечающих одному и тому же корню характеристического уравнения не превышает кратности этого корня. Отсюда, в частности, следует, что если корни характеристического уравнения различны, то каждому собственному значению соответствует с точностью до коэффициента пропорциональности один и только один собственный вектор.
Метод Леверрье
Рассмотрим один из способов определения коэффициентов характеристического полинома – метод Леверрье. Он основан на использовании формулы Ньютона для суммы степеней корней алгебраического уравнения.
Пусть l1, l2,…, ln – корни полинома (4.20).
Обозначим (k = 1, …, n).
Тогда для любого k £ n справедлива формула Ньютона [2]
.
Отсюда для k = 1,…, n получаем уравнения для нахождения коэффициентов характеристического полинома
(4.21)
Осталось только определить суммы S1, S2, … , Sn. Известно, что
– сумма диагональных элементов матрицы (след матрицы[3], tr A, или Sp A);
– сумма диагональных элементов матрицы А2, полученной возведением в квадрат матрицы А;
и так далее.
Таким образом, порядок действий следующий:
1) простым перемножением вычисляем степени данной матрицы А2, А3, … , Аn ;
2) находим их следы – суммы диагональных элементов S1, S2, …, Sn;
3) по рекуррентным формулам (4.21) находим искомые коэффициенты p1, p2,…, pn;
4) после получения характеристического полинома ищем его корни l1, l2, …, ln одним из способов, которые будут рассмотрены в главе 5.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 145;